Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die gnomonische Projektion in der hyperbolischen Geometrie

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sin = sin j j sh 92
cos epi = ch cp
( } 1
tg9?i = 7th(P
b
cotcpi = iethep
Diese Methode soll im folgenden konsequent angewendet werden.
Immer wenn ein Winkel verschwindet und an seine Stelle eine ge-
meinsame Senkrechte tritt, sind die Funktionen der ihn einschließenden
Seiten nach Substitution 1 zu verändern, die Funktionen des Winkels
zu ersetzen durch die der Senkrechten nach 2. Es ist nicht nötig, daß
der Winkel bei B ein rechter ist, die Gleichungen eines gewöhnlichen
Dreiecks gehen dann über in die eines Vierecks mit zwei rechten
Winkeln an clei’ gemeinsamen Senkrechten.
Um die Formeln der Kugel in § 1 überzuführen in die der Ab-
standsfläche, ist noch festzustellen, was aus rc (x<) wird. Es ist:
n-2- 11
tg =tg n= (sh x ^ = _ = 7 . th = tg -

Also:

Dann geht Gl. 1 über in:
AB = II • sh (x—i ch x

Aus 3:
2 . ; — • * ZV
b b
AB — % • chx = -X ,
thx
th q — i ch x tg . ;— — ch x th -p—
tch x ch x
Aus 4:
tgX- tg-^- =_—
Vchx &-ichx ch2x
th —— • th = 2_
ch x ch x ch2 x

Die Substitutionen 1 und 2 genügen also unsern Ansprüchen.

§ 3.
Die gerade Linie.
Das Lot von 0 auf die Gerade bilde mit der £ Achse den Winkel a,
dann lautet die Gleichung der Geraden in Polarkoordinaten:
th q cos (a—cp) — th y
th q cos cp cos a-|-th q sin cp sin a = th y