Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die gnomonische Projektion in der hyperbolischen Geometrie

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Auf der Grenzkugel wird die Gleichung nicht durch x dividiert.

Es ist vielmehr
x sin — = £ also:

X = 00 X

(7)
Für ?; = 0:
£ cos a -f- 7] sin a = y
(8)
y
cos a = —

Auf der Grenzkugel gilt die euklidische Geometrie.

§4.

Gemeinsame Gleichung der Cyklen.


Fig. 6.

Die Zuordnung der Punkte,
wie sie in § 1 durch Glei-
chung 4 und 4' ausgesprochen
ist; ist nicht die, welche den
Strahlenbündeln und den
durch sie dargestellten Geo-
metrien entspricht, es ist viel-
mehr die der hyperbolischen
Ebene, wie auch aus Gleich. 5
§ 1 hervorgeht. Um die rich-
tige Zuordnung zu finden,
sollen die Cyklen auf die
Flächen projiziert und ihre
Mittelpunkte festgestellt werden. Suchen wir zunächst die für die
Abbildung brauchbarste Form der Cyklengleichungen. Legt man die
£ Achse durch den Mittelpunkt des Kreises mit dem Radius o, so lautet
seine Gleichung in Polarkoordinaten:


ch g = ch q • ch (ß + <j) — sh q ■ sh (/? o) • cos cp
Durch ch o • ch q • ch ß dividiert und die Tangensfunktionen abgekürzt
geschrieben:
(1) (1—r2) (1 — Z)2) = 11 — b s — r (& + $) cos 99] 2
Um die Form zu vereinfachen, setze man:

(2)

1 + b s b -f- s . .
r— - = L; — = m, dann ist:
Ki-z>2 K1-&2

(3) $— = th (ß -|- 0) = -y und 1 wird:
1 “1 OS L
(4) 1—r2 — (Z — m r cos cp}2 oder in rechtwinkl. Koordinaten:
(5) 1— x2 — £/2 = (Z— mx)2 In homogenen Koordinaten: