Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser

Es ist ch2 x — sh2 x = 1; X 1 — = 2, x • sh x = g,
x = oo sh x
also 4 f2 + 2 ?;2 = 1.
Dividiert man in Gleichung 3 von § 1 die Strecken durch die
Konstante 2, so gilt die Formel:

th — = sh —1°’-
2 2 g sh x
T
in allen drei Bäumen. Im elliptischen Fall erhält man an Stelle der
Abstandsfläche (divergentes Strahlenbündel) eine Kugel auf der anderen
Seite der Ebene mit dem Radius x — —. So erklärt sich die Tat-
sache, daß man im hyperbolischen Raume x durch h — ~ ersetzen
muß, um von der Kugel zur Abstandsfläche zu gelangen.
An Stelle der Grenzkugel tritt im ellipt. Raum die ursprüngliche
Ebene, statt x = co ist x = — zu setzen, die Transformation ist
identisch.

(1)

§ 7.
Abstandszylinder und Cliffordsche Fläche.
Die hyperbolische Ebene wurde durch die drei Arten von Strah-
lenbündeln auf die

zu ihnen senkrechten Flächen projiziert. Ist der
Mittelpunkt des Bündels imaginär, so stehen
die Strahlen auf einer Ebene senkrecht. Dem
imaginären Punkt läßt sich aber als reelles
Gebilde auch eine Gerade zuordnen. So ent-
steht ein Bündel, dessen Strahlen auf einer Ge-
raden senkrecht stehen. Die Fläche, die dieses
Bündel senkrecht schneidet, ist der Rotations-
zylinder der Abstandslinie. Für das Koordinaten-
system der Ebene ergibt sich hier eine ausgezeich-
nete Lage, die 7; Achse liege mit der Rotations-
achse in einer Ebene, die Lote auf die Achsen
bilden sich ab als Abstandslinien und als Kreise.
Die Abbildungsgleichungen lauten hier:
th £ = sh x tg —;—
6 sh x
th 77 = ch x th