Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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(ch2 x — sh2 x) sh x

1 — a x ‘
Im Grenzfall k — co gehen sie über in:

Die gnomonische Projektion in der hyperbolischen Geometrie 17

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Gleichung 5 in § 5 nimmt, da a2 zu Null wird, die einfache Form an:
1 + s2 ,
a-= 1
s
s
a = ——5

O Q
2a= n—= th 2 a
1 +’/
th 2 a
a = — = o
Für den Kreis erhält man:
-7k + = 1 oder auch:
a 2 th a • a
I2 _L = 1
ct2 ' a • th a
Die Form b wird unbestimmt, der andere Anfangspunkt liegt im
Unendlichen.
Die Abstandslinie wird:
£2 = V2 th q -
a'2 a'
Für den Grenzkreis ist th a = 1 zu setzeb, also:
(20) 4 £2 + 2 t?2 = 1, denn o‘ -
Die letzte Gleichung würde sich auch aus § 6 Gl. 6 a ergeben haben
durch Grenzübergang. Man erweitere in dieser Gleichung des Grenz-
kreises auf der Kugel den ersten Bruch mit sh2 x (ch x -j- sh x)2
den zweiten mit sh x (chx-J-shx), so kommt:
sh2 x x2 (ch x -|- sh x)2
(ch2 x — sh2 x)2 sh2 x

Geometrie gilt, so ist die Abbildung der Klein sehen analog und es
ist dabei noch der Vorteil, daß die Punkte durch Projektion aus ein-
ander hervorgehen.
Die Transformationsgleichungen lauten mit k multipliziert:
k x ‘ — k ci
k x = -t-—
1 —a x