Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die gnomonische Projektion in der hyperbolischen Geometrie 5

die Kugel ein, man muß nämlich den imaginären Teil der Abstands-
fläche zu Hilfe nehmen, um die Punkte 7^ abzubilden, deren zuge-
ordnete B von A einen Abstand haben, der kleiner ist als x', die
Senkrechten auf A JE in diesen Punkten haben mit 00keine gemein-
same Senkrechte mehr. Die Gleichung, die 4 entspricht, ergibt sich
folgendermaßen: Es ist im rechtwinkligen Fünfeck 0 AB C 0‘“:
th (pi = } —- und im Spitzeck 0 A B 0 ‘
th m — th , also:
ch x,
(4') th y • th^ -

Für ch x = 1 x = 0 wird 3' identisch, es entstehen die Formeln der Ebene.

III. Die Grenzkugel.

Beide Abbildungen gehen in die
auf die Grenzkugel über, wenn man
x unendlich werden läßt- Es wird

( } L n(x)=otgji (x) “1
Denn 77(x) wird für x = co zu Null.
Die Abbildungsformel wird:
i Lim . p'
th p — . sh x ■ t«; —r— = 0
c* n ° c? r» u

(3'0
(4")

th Q = Q1
Q ' Qi 4


§ 2-
Zusammenhang zwischen den Abbildungen auf die drei Sphären.
Die weiteren Entwicklungen lassen es wünschenswert erscheinen,
die Abbildungen aus einander herleiten zu können. Es ist bekannt,
daß auf jeder der drei Flächen eine der drei Geometrien gilt. Von
diesen kann man zwei aus der dritten herleiten, indem man eine Kon-
stante imaginär oder unendlich werden läßt. Somit muß sich dieser
Zusammenhang ergeben als eine Folge der besonderen Beschaffenheit
des hyperbolischen Baumes. In der Tat hat man in demselben drei
von einander getrennte Punktmengen, reelle, imaginäre und unendlich
ferne, und zwischen ihnen besteht ein imaginärer Zusammenhang, von
dem bisher in der Rechnung noch kein Gebrauch gemacht wurde.
Die Abbildung der Ebene geschah durch drei verschiedene Strahlen-
bündel mit reellem, imaginären, und unendlichem Zentrum. Die Geo-
metrie dieser Strahlenbündel ist dieselbe wie die der drei Flächen, die