Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die gnomonische Projektion in der hyperbolischen Geometrie 19
Die Linie AP=q aber bildet sich weder als Kreisbogen noch
als Abstandslinie, sondern als Schraubenlinie ab. Deshalb soll diese
Strecke in der Gleichung der geraden Linie nicht verwendet werden,
sondern der Abschnitt auf einer der Achsen. Ist ß der Abschnitt auf
der 7] Achse, cp der Winkel des Lotes von 0 aus, so ist die Gleichung
der Geraden in der Ebene:
(2) th £ cos cp + th 7] sin cp — th ß sin (p
sie geht über in:
v' ß'
(3) sh x tg —;— cos cp + ch x th — sin cp = ch x th —p— sin cp
v 7 8 shx ' ch x 7 ch x '
7]' werde zu Null, dann wird l- =a‘ der Abschnitt auf der £ Achse.
a' ß'
(4) sh x tg —r-cos 9? = ch x th —-sin cp
öii x * cn x
Wird x = oo, so geht die Fläche in die Grenzkugel über, denn
beide Achsen werden zu Grenzkreisen. Aus Gleichung 4 erfolgt:
a cos cp= ß' sin 9?
(5) W = y
TT
Ersetzt man in 4 auf beiden Seiten x durch x — ^7, so erhält man
TT
dieselbe Fläche, nur ist die Dotationsachse um y gedreht, so daß sie
senkrecht zur Zeichenebene steht. Denn es wird:
. , 1 , cf . , 1 /?'
1 cn x ■ — tn —:— • cos cp = % sh x — tg -4-sm cp
x ch x x sh x
Es ist nur noch cp mit y — cp, a mit ß' zu vertauschen, dann wird
diese Gleichung mit 4 identisch.
TT
Ersetzt man dagegen in 4 nur links x durch x—so ergibt sich
die Abbildung auf die Abstandsfläche, ch x hebt sich fort, es folgt:
(6) th ~— • cos cp — th —— • sin cp
Cll X CD X
TT
Wenn man aber rechts x durch x ersetzt, so folgt ebenso:
(7) tg —;— • cos cp — tg — sin cp
8 sh x 78 sh xv
Die Abbildungsfläche ist die Kugel.
Gehen wir nun zum elliptischen Raum über, indem alle Strecken
durch i dividiert werden, so verändern sich die Abbildungsformeln 1 in: