Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser

da th q cos 99 = th £ und th q sin tp = th so folgt, wenn
th £ = «, th = y gesetzt wird:
(1) xcosa-yy sin a — c.
Überhaupt sollen die Tangensfunk-
tionen der Strecken wieder durch die
entsprechenden lateinischen Buch-
staben ausgedrückt werden.
Man kann leicht zu homogenen
Kordinalen übergehen, denn es ist:
= th £ = sh g Cos ? = sh£' -
ch o ch q p‘"
Ebenso y = —, wenn mit x‘ y‘ p‘ die
p
WEiERSTKASSschen Koordinaten bezeichnet werden.1) Es kommt:


(2) x * ch y cos a + y' ch y sin a = p sh y
Es soll jedoch die inhomogene Form beibehalten werden.
Die Gleichung 1 stellt zugleich die gerade Linie auf allen drei
Flächen dar, wenn man nur die Koordinaten entsprechend verändert.
Wendet man auf 1 nämlich die Substitution 3 in § 1 an, so hebt sich
die Konstante x heraus. Für die Kugel lautet 1 ausgeschrieben: (Striche
fortgelassen)
1®E7cosa+tg^V siaa = tgdÜ

(4)

COS

Denn alle von 0 ausgehenden Strahlen transformieren sich auf dieselbe
Weise. Für y = 0 folgt:

Für £1 = 00 folgt:
(6)
Auf der Abstandsfläche gilt die hyperbolische Geometrie.

y
«i = th -f— = cos
cn x

cos a + th-y— sin a = th-j—
ch x ch x

thJK
ch x
cos a =--—
thü
ch x

tg -y~
~ shx
cos a =--—
Es gilt also auf der Kugel die sphärische Geometrie. Für die Ab-
standsfläche folgt ebenso:
® th ah
Für 77 = 0:

Vgl. Liebmann, nichteuklidische Geometrie, de Gruyter, Berlin, § 23.