Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der reelle Übergang zwischen den beiden nichteuklidischen Geometrien usw. 9

(1)

werden immer kleiner und schließ-

(3)

lieh Null, während 2
liehen Wert behält.

. b
sm
shr

Die Trigonometrie der projizierenden Strahlen.
Denkt man sich das sphärische Dreieck aus dem Mittelpunkt der
Kugel projiziert, so sind die Gleichungen zwischen den Seiten und Win-
keln nichts anderes als Beziehungen zwischen den Winkeln und Ebenen-
winkeln der so entstandenen dreiseitigen Ecke. , Ebenso wird das hyper-
bolische Dreieck projiziert durch drei Strahlen, die auf einer Ebene
senkrecht stehen, das Dreieck liegt auf einer Abstandsfläche und das
euklidische Dreieck durch drei parallele Strahlen, es liegt auf einer Grenz-
kugel. Hält man also die drei Ecken des sphärischen Dreiecks fest und
läßt den Mittelpunkt der Kugel weitergleiten, so geht diese allmählich
in die Grenzkugel über.
Um nicht zu lange Gleichungen zu bekommen, wählen wir ein recht-
winkliges Dreieck und greifen die Formel heraus:
a
tgsEi:

2 Q
Für z = o ist y2 = th2 a — th2 c = th2 a (1 — ) = th2 a • cos2 d
trr a
th rj — th a • th d.

a b
Die beiden Winkel — und -5—
sh r sh r
zwar auch kleiner wird, aber immer einen end-
Schließlich erhält man den Grenzwert:
tgA = A
zu Null geworden, ihr Quotient aber ist endlich

2 0
Für y = o ist z2 — 1 — . 2 =1 — cos2 ö' = cos2 ö = th d
th“ a
C = d.

(2)
Die Winkel sind
geblieben. Drehen sich die Strahlen noch weiter, so treffen sie sich
nicht mehr, sie stehen auf einer gemeinsamen Ebene senkrecht. Das so
entstandene kleine Dreieck rückt aus dem Endlichen heran. Die Strahlen-
beziehung drückt sich aus durch:
th^w
. - sh n
tg2 =-
sh-T-
ch ri