Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untermischgruppe. 5
§ 1. Die Grundbegriffe.
(Z) Ist 11 eine Untermischgruppe der Mischgruppe 9R, ist weiter
1. M* eine zu 9)1 konforme Untergruppe von M1),
2. U eine hinsichtlich 11 transitive Untergruppe von M*2),
3. M* - E = U - E,
so induziert die Zerlegung || M* / U || eine Zerlegung j| 9)1 /11 || von 9)1
in Klassen nach IX, indem zur gleichen Klasse nach IX alle und nur die
Elemente von 9)1 gerechnet werden, deren Repräsentanten3) in M* zur
gleichen Klasse nach U gehören.
Wir sagen dann:
diese Zerlegung von 9)1 nach 11 wird durch die Zerlegung von M* nach U
realisiert, ist eine gruppentheoretische Zerlegung.
Die Bedingungen 1—3 sind für die Realisierung im folgenden Sinne auch
notwendig: 1. wegen der Sätze des § 2 von Mg; 2. da sonst M* nicht nach U zerlegt
werden könnte und ebenfalls wegen der Sätze des § 2 von Mg; 3. ist schließlich
notwendig, da nur dann den Klassen von || M* / U || ganzeKlassen von || M* / M* ° E ||
bzw. von || U / UnE l| angehören, d. h. die Elemente von SR eindeutig auf die
Klassen nach 11 verteilt sind.
Satz I : Liegt eine gruppentheoretische Zerlegung von 9)1 nach 11
vor, und wird diese durch die Zerlegung von M* nach U realisiert, so gehen
bei Abbildungen aus M* Klassen nach 11 aus dieser Zerlegung wieder in
solche über.
Wegen Satz 71 des § 2 von Mg und Anm. 2) S. 12 von Mg geht bei
U die Untermischgruppe 11 in sich über; ist jetzt Ua eine Klasse vonM*
nach U, so geht IX bei allen Abbildungen aus Ua in die gleiche Klasse Y
von 9)1 nach IX über; ist nämlich Y das Elementesystem, in das IX bei a
übergeht, so muß bei ua mit u e U ebenfalls XX in Y übergehen, da bei
u ja XX in sich übergeht, und zwar geht die Identität von IX bei der Ge-
samtheit der Abbildungen aus Ua in die Gesamtheit der Elemente
von Y über.
Sei jetzt Y eine beliebige Klasse von 9)1 nach IX und Ua die Klasse
von M* nach U, die 11 in Y überführt; sei weiter x ein beliebiges Element
x) Wir verstehen — wie in Mg — unter M stets die Gruppe aller ähnlichen
Abbildungen von SR auf sich (f a -> f a' für alle f e dem Kem von SR); E ist die
Untergruppe von M, bei der die Identität und also Ü elementweise fix bleiben.
M* heißt zu SR konform, wenn die Zerlegungsmischgruppe || M* / (M* ° E) ||
zu SR isomorph ist, wobei einer Restklasse von M* nach M* E das Element von
SR zugeordnet werden möge, in das die Abbildungen aus dieser Restklasse die
Identität von SR überführen.
2) Wegen Bedingung 1. und 3. ist dann U sogar zu II konform, da die Be-
dingung des Satz 5 des § 2 von Mg für M* und also a fortiori für U erfüllt ist.
3) a e M* repräsentiert a e SR, wenn a die Identität aus SR in a e SR überführt.