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https://doi.org/10.11588/diglit.43547#0028
28
Reinhold Baer:
§ 6. Die Zerlegungen 3. Art.
Liegt eine realisierbare Zerlegung 3. Art von 9k nach 11 vor, so
betrachten wir das System Uj aller und nur der Klassen von nach
St, welche mit allen und nur den Klassen nach II inzidieren, die auch
mit St inzidieren.
Bei kongruenten Abbildungen von 9k auf sich geht Ux entweder
in sich oder in ein fremdes System über.
Die Zerlegung von 9k nach 11 induziert gleichzeitig eine Zerlegung
von Uj nach U^llj; diese ist 2. Art; zu ihr gehört also eine für sie cha-
rakteristische Gruppe, die den Bedingungen des Satzes 8 des § 5 genügt,
Klassen ähnlicher Klassen etc. und es gilt der folgende allgemeine
Satz: Eine Zerlegung 3. Art von 9k nach U ist dann und nur dann
realisierbar, wenn
1. die Gruppe der kongruenten Abbildungen hinsichtlich 9k transitiv ist,
2a. entweder eine Klasse ähnlicher Klassen wenigstens drei Elemente
enthält oder
2b. St II einen nicht nur die Identität enthaltenden Normalteiler von
St umfaßt.
§ 7. Die Komposition der Zerlegungsmischgruppe.
Es liege irgendeine gemäß (Z) des § 1 realisierbare Zerlegung von
9k nach der Untermischgruppe 11 vor; die Realisierung erfolge durch
Zerlegung einer Gruppe A nach der Untergruppe B. Wegen Satz 1 des
§ 1 können wir annehmen, daß A eine Untergruppe der Gruppe M* aller
kongruenten Abbildungen von 9k auf sich ist; dann ist B = U* A,
wo U* die Gruppe aller kongruenten Abbildungen von 9k ist, bei denen
11 in sich übergeht.
(K) Fragen wir nach dem Kern der Quotientenmischgruppe || A / B ||>
so haben wir nach Satz 2 des § 1 von Mg den Normalisator N (B < A)
von B in A aufzusuchen.
Auf diese Weise ließe sich eine Komposition der Elemente der Zer-
legungsmischgruppe definieren; allerdings wäre dieselbe im allgemeinen
von der jeweils gewählten Realisierung abhängig und in verschiedenen
Realisierungen verschieden. — Enthält 11 nicht nur Elemente aus St,
so ist der Weg, die Komposition der Klassen durch Komposition der
Elemente zu erklären, ganz ungangbar.
(E) Es wäre ev. möglich, ein geeignet ausgewähltes Repräsentantensystem der
Definition der Komjwsition zugrunde zu legen.
Dagegen spricht, daß das Ergebnis von der Auswahl des Repräsentanten-
systems abhängig wird.
Reinhold Baer:
§ 6. Die Zerlegungen 3. Art.
Liegt eine realisierbare Zerlegung 3. Art von 9k nach 11 vor, so
betrachten wir das System Uj aller und nur der Klassen von nach
St, welche mit allen und nur den Klassen nach II inzidieren, die auch
mit St inzidieren.
Bei kongruenten Abbildungen von 9k auf sich geht Ux entweder
in sich oder in ein fremdes System über.
Die Zerlegung von 9k nach 11 induziert gleichzeitig eine Zerlegung
von Uj nach U^llj; diese ist 2. Art; zu ihr gehört also eine für sie cha-
rakteristische Gruppe, die den Bedingungen des Satzes 8 des § 5 genügt,
Klassen ähnlicher Klassen etc. und es gilt der folgende allgemeine
Satz: Eine Zerlegung 3. Art von 9k nach U ist dann und nur dann
realisierbar, wenn
1. die Gruppe der kongruenten Abbildungen hinsichtlich 9k transitiv ist,
2a. entweder eine Klasse ähnlicher Klassen wenigstens drei Elemente
enthält oder
2b. St II einen nicht nur die Identität enthaltenden Normalteiler von
St umfaßt.
§ 7. Die Komposition der Zerlegungsmischgruppe.
Es liege irgendeine gemäß (Z) des § 1 realisierbare Zerlegung von
9k nach der Untermischgruppe 11 vor; die Realisierung erfolge durch
Zerlegung einer Gruppe A nach der Untergruppe B. Wegen Satz 1 des
§ 1 können wir annehmen, daß A eine Untergruppe der Gruppe M* aller
kongruenten Abbildungen von 9k auf sich ist; dann ist B = U* A,
wo U* die Gruppe aller kongruenten Abbildungen von 9k ist, bei denen
11 in sich übergeht.
(K) Fragen wir nach dem Kern der Quotientenmischgruppe || A / B ||>
so haben wir nach Satz 2 des § 1 von Mg den Normalisator N (B < A)
von B in A aufzusuchen.
Auf diese Weise ließe sich eine Komposition der Elemente der Zer-
legungsmischgruppe definieren; allerdings wäre dieselbe im allgemeinen
von der jeweils gewählten Realisierung abhängig und in verschiedenen
Realisierungen verschieden. — Enthält 11 nicht nur Elemente aus St,
so ist der Weg, die Komposition der Klassen durch Komposition der
Elemente zu erklären, ganz ungangbar.
(E) Es wäre ev. möglich, ein geeignet ausgewähltes Repräsentantensystem der
Definition der Komjwsition zugrunde zu legen.
Dagegen spricht, daß das Ergebnis von der Auswahl des Repräsentanten-
systems abhängig wird.