Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Arnold Scholz:

£ (primitive Polynome) verwenden, L dagegen nur für Polynome
in 2. Wir schreiben auch ~-F2(9ft), wenn F2 = JF^tyV) und
dann auch F1 = J'F2(JffV) darstellbar, insbesondere F1^F2(<iffl),
wenn .7 = 1(2). Ebenso AF1 ~ oder » J/2.
2. Betrachtet man die Gruppe 21' der 2-ten Potenzen Fl ALa°
(La < £) in 21, und bildet man die Faktorgruppe 21/2I2, so erhält
man eine gewöhnliche Abelsche Gruppe mit höchstens 5 Basis-
elementen, alle von der Ordnung Z; sie heiße der „Stumpf“ von 2t.
Denn bei der Reduktion mod (A^ . . . zl;i), durch die 21 zentralisiert
wird, werden die Exponenten der Aa natürliche Zahlen; diese
sind dann noch mod l zu reduzieren. Seien jetzt r(^s) Elemente
in 2I/2l~ voneinander unabhängig, etwa A1: . . . Ar, und A1, . . . Ar
Repräsentanten in 21 für diese Restklassen, so reichen auch schon
Rl1, . . . Ar zur symbolischen Erzeugung von 21 aus: Da im Stumpf
die Basiselemente nur so ausgewählt zu werden brauchen, daß sich
keines durch die übrigen darstellen läßt, darf man die Repräsen-
tanten Ax, . . . Ar aus den gegebenen symbolisch Erzeugenden
Ax, ■ ■ . As von 21 auswählen. Dann muß jedes Ar mit t > r
r s
at = n aFq ■ n al°
* o a
q=1 ~ c>r
darstellbar sein, wie man aus Restklassenbildung nach 21' erhält.
Durch mehrmalige Wiederholung des Darstellungsprozesses auf
die rechtsstehenden Aa, deren Exponenten dann von 2 über 22, 23,
. . . nach 2* wandern,'fällt wegen 2J = 0(9Jl) schließlich jedes Aa
mit er > r aus der Darstellung heraus, und es steht
At = IIA\
T o
e=i
3. Hieraus folgt insbesondere, daß 21 einen von der Identität
verschiedenen Stumpf besitzen muß. (21 =j= 21', wenn überhaupt
21 4= 7?.)
4. Die oben aus der Stumpfbasis bestimmten symbolischen
Erzeugenden Av . . . Ar sind in dem Sinne voneinander unabhängig,
daß sich keines von ihnen als symbolisches Potenzprodukt der übrigen
darstellen läßt; denn sonst genügten etwa Ax, . . . Ar_x schon zur
Erzeugung von 21, und dann könnte der Stumpf nicht mehr r Un-
abhängige besitzen. Wir nennen darum Ax, . . . Ar Symbolisch
unabhängig'. (In einer gewöhnlichen Abelschen Gruppe bedeutet
das noch nicht, daß Ar, . . . Ar eine Basis bildeten, sondern auch nur,
daß sich keine der Erzeugenden durch die übrigen darstellen läßt.)