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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0022
22
Wolfgang Krull:
Ferner sei Aß — Aß, und es mögen keine weiteren Relationen
gelten. Es ist dann das Zentrum G = {Rf1} = {A22} zyklisch.
Und es ist K — N(K') und dabei K’/Ko zyklisch, wenn K' der zur
Untergruppe {Ax, A2} gehörige Unterkörper ist. Denn {A15 A2}
besitzt als Untergruppe der Ordnung l2 nur den Index l in 21 (91 die
Ordnung Z3!), ist also zyklisch und hat mit [A1, A2}Si = {Aß, A2]
den Durchschnitt {A2}, ebenso mit {A1? A2}S1 = {A1? Aß} den
Durchschnitt {AJ; also ist der Indikator (der Durchschnitt aller
konjugierten Gruppen) = E.
91 ist also eine hyperzyklische Gruppe mit zwei symbolisch
unabhängigen Erzeugenden.
Die hypozyklischen Gruppen sind von weit größerer Bedeutung
als die hyperzyklischen.
Bemerkungen zur algebraischen Geometrie.
Von Wolfgang Krull in Erlangen.
In der Theorie der Singularitäten ebener algebraischer Kurven
spielen spezielle quadratische Transformationen des Typus
(1) x =xr; y = (cx + yx) • xx
eine ausgezeichnete Rolle. Nach Max Noether gilt der Satz:
Jede Singularität läßt sich durch endlich viel Transformationen des
Typus (1) in reguläre Punkte auflösen, und zwar im wesenlichen nur
auf endlich viel verschiedene Weisen. Auf Grund dieses Satzes kann
man einer gegebenen Singularität endlich viele Serien von Zahl-
invarianten zuordnen, die man als Multiplizitäten von „unendlich
benachbarten“ Singularitäten erster, zweiter, dritter, . . . Ord-
nung deutet.
W. Schmeidler hat die Noetherschen Ergebnisse in den Rah-
men der Idealtheorie eingebaut, und dabei in mehrfacher Hinsicht
ergänzt1): Ist p(x, y) = 0 im Polynomring $ = ^0[x, y}2) die
1) Über die Singularitäten algebraischer Gebilde, Math. Annalen 81 (1920)
S. 223—234 bzw. 84 (1921) S. 303—320. In der ersten Abhandlung behandelt
Schmeidler auch Singularitäten von Nichthauptidealen. -— Im Folgenden
schließe ich mich hinsichtlich der Terminologie im wesentlichen an v. d.
Waerden, Moderne Algebra II an. Der Inhalt der dortigen Kapitel XII und
XIII wird in gewissem Umfang als bekannt vorausgesetzt.
2) Ko bedeutet den Körper aller komplexen Zahlen.
Wolfgang Krull:
Ferner sei Aß — Aß, und es mögen keine weiteren Relationen
gelten. Es ist dann das Zentrum G = {Rf1} = {A22} zyklisch.
Und es ist K — N(K') und dabei K’/Ko zyklisch, wenn K' der zur
Untergruppe {Ax, A2} gehörige Unterkörper ist. Denn {A15 A2}
besitzt als Untergruppe der Ordnung l2 nur den Index l in 21 (91 die
Ordnung Z3!), ist also zyklisch und hat mit [A1, A2}Si = {Aß, A2]
den Durchschnitt {A2}, ebenso mit {A1? A2}S1 = {A1? Aß} den
Durchschnitt {AJ; also ist der Indikator (der Durchschnitt aller
konjugierten Gruppen) = E.
91 ist also eine hyperzyklische Gruppe mit zwei symbolisch
unabhängigen Erzeugenden.
Die hypozyklischen Gruppen sind von weit größerer Bedeutung
als die hyperzyklischen.
Bemerkungen zur algebraischen Geometrie.
Von Wolfgang Krull in Erlangen.
In der Theorie der Singularitäten ebener algebraischer Kurven
spielen spezielle quadratische Transformationen des Typus
(1) x =xr; y = (cx + yx) • xx
eine ausgezeichnete Rolle. Nach Max Noether gilt der Satz:
Jede Singularität läßt sich durch endlich viel Transformationen des
Typus (1) in reguläre Punkte auflösen, und zwar im wesenlichen nur
auf endlich viel verschiedene Weisen. Auf Grund dieses Satzes kann
man einer gegebenen Singularität endlich viele Serien von Zahl-
invarianten zuordnen, die man als Multiplizitäten von „unendlich
benachbarten“ Singularitäten erster, zweiter, dritter, . . . Ord-
nung deutet.
W. Schmeidler hat die Noetherschen Ergebnisse in den Rah-
men der Idealtheorie eingebaut, und dabei in mehrfacher Hinsicht
ergänzt1): Ist p(x, y) = 0 im Polynomring $ = ^0[x, y}2) die
1) Über die Singularitäten algebraischer Gebilde, Math. Annalen 81 (1920)
S. 223—234 bzw. 84 (1921) S. 303—320. In der ersten Abhandlung behandelt
Schmeidler auch Singularitäten von Nichthauptidealen. -— Im Folgenden
schließe ich mich hinsichtlich der Terminologie im wesentlichen an v. d.
Waerden, Moderne Algebra II an. Der Inhalt der dortigen Kapitel XII und
XIII wird in gewissem Umfang als bekannt vorausgesetzt.
2) Ko bedeutet den Körper aller komplexen Zahlen.