Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfganf Krüll:

abhängt. Denn aus der Isomorphie von und r® folgt natürlich
i. a. keineswegs die Isomorphie von r(1) und r(2). Im übrigen zeigt
sich der Vorteil der Einführung der Singularitätengruppen cp zu-
nächst in dem (für c naturgemäß nicht geltenden) Satz:
Die Singularitätengruppen cp sind nicht nur affine, sondern sogar
projektive Invarianten des Singularitätentyps.
Wenn man inhomogen arbeitet, besteht eine projektive Trans-
formation in der Einführung von neuen Variabein yi durch eine
linear gebrochene Substitution
njx)
Vi = , T? nk(X} = ak1Xl + + ’ ' ’ + aknXn + akls-
nQ\X)
(I | 0 (/, A: = 0, • • • n)).
Handelt es sich ferner um die Betrachtung einer bestimmten
Mannigfaltigkeit p, so sind nur solche Transformationen zuzulassen,,
bei denen p nicht ins Unendliche geworfen wird, bei denen also der
Nenner zz0(x) durch p unteilbar ist. Zum Invarianzbeweis ist daher
nur zu zeigen: Bei der Einführung des Singularitätenideals cp in
ist es gleichgültig, ob man als Variable für die Differentiation
Yl Yb
^i, • • • xn oder ±= -1, . . ■ yn = -n (n0 0 (p)) zugrunde legt. -
n0 n0
Diese letztere Behauptung kann aber mühelos verifiziert werden..
Wenden wir uns jetzt zu dem Fall, daß das Primideal p nicht
mehr wie bisher völlig beliebig ist, sondern eine (im früher fest-
gelegten Sinne) nichteingebettete Singularitätenmannigfaltigkeit
von (p) repräsentiert, so ergibt sich zunächst unmittelbar: p ist
dann und nur dann nichteingebettete Singularitätenmannigfaltigkeit
von (p), wenn cp in Primärideal ist, und dementsprechend die Singu-
laritätengruppe c„ einen endlichen Modul mit dem Multiplikatoren-
bereich darstellt. Das bedeutet aber, daß die Singularitäten-
gruppen der nicht eingebetteten Singularitäten gerade der Bedin-
gung genügen, auf die sich Schmeidler bei seinen Untersuchungen
vor allem stützt. Um sich nun davon zu überzeugen, daß deshalb
die Schmeidlersche Transformationstheorie auf beliebige nicht-
eingebettete Singularitäten beliebiger Primhauptideale ausgedehnt
werden kann, betrachtet man am besten zuerst nichteingebettete
nulldimensionale Singularitäten. Es ist dann zu zeigen:
Es seien (p(1)) und (p(2)) zwei Primhauptideale, die beide das
nulldimensionale Primideal p = (xx, . . . als nichteingebettete
Singularitätenmannigfaltigkeit besitzen', außerdem seien die Rest-