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https://doi.org/10.11588/diglit.43679#0015
Ordnungsfeste Annäherung ebener Bogen 15
ist als n für alle Zu jedem 21,. gibt es dann eine
Gerade s,., welche mit 21,. lauter Schnittpunkte gemeinsam hat und
zwar genau /’,. zz -j- 1; diese Schnittpunkte seien bezeichnet mit
SU (y = 1,...; r,,; p = 1, 2,... 0. B. d. A. können wir überdies
annehmen, daß keiner der Punkte SO ein mehrfacher Punkt oder
ein Wendepunkt auf 21,. sei.
Da sich alles in einem beschränkten Teile der Ebene abspielt,
so können wir aus ) 21,.j eine Teilfolge herausgreifen derart, daß
die zugehörigen Teilfolgen aus jSOj gegen je einen Punkt Sy
konvergieren und zwar mindestens für j = 1,2, ...,n 1; die
zugehörige Teilfolge aus js,.| konvergiert dann gegen eine be-
stimmte Gerade g. Der Einfachheit wegen bezeichnen wir die so
gewählte Teilfolge wieder mit [21,.' bzw. mit bzw. mit {SO*.
Die Sj liegen auf g und zugleich auf 21". Da 21" die Ordnung rz
besitzt, so können unter den Sy höchstens n verschiedene Punkte
sich finden; andernfalls hätte ja g mit 21" mindestens (zz—1)
Punkte gemeinsam, und es gäbe zu g beliebig benachbarte Ge-
raden mit mindestens (zz + 1) Sc/zzzzTfpunkten 1X).
Wir nehmen nun an, es gebe unter den Sy genau k ver-
schiedene Punkte: 7\,..., Th (kS^ri). In Bezug auf jeden dieser
Punkte Tk gibt es nur die folgenden Möglichkeiten:
Erstens: Tk = T ist Schnittpunkt von g mit jedem durch T
laufenden Teilbogen von 21" und g ist keine Wendetangente von
21". Wir behaupten: Beider hiermit gekennzeichneten Möglichkeit
fehlen in T genau einer bzw. genau zwei der Sy zusammen, je
nachdem T einfacher oder mehrfacher Punkt von 21" ist. Ist T
Endpunkt von 21", so fällt nach T genau einer der Sj.
Beweis: Es sei zunächst T kein mehrfacher Punkt von 21". Da
die Tangente längs 21" und längs eines jeden 21,. stetig ist, und
da die Tangenten der 21,. gleichmäßig gegen die entsprechenden
Tangenten von 21" konvergieren, so gibt es eine zweidimensionale
Umgebung U von T, innerhalb welcher alle Tangenten t,. an 21,.
bei hinreichend großem v beliebig wenig von der Tangente! an
21" in T abweichen, und innerhalb welcher g mit 21" genau einen
(Schnitt)-Punkt, nämlich T, gemeinsam hat. Nun schließt aber t mit
g einen von Null verschiedenen Winkel ein. Daher kann U so
gewählt werden, daß der kleinere der beiden Winkel zwischen
u) Vergl. Marchaud, A., Sur les continus d’ordre borne, Acta math. 55
(1930), S. 79.
ist als n für alle Zu jedem 21,. gibt es dann eine
Gerade s,., welche mit 21,. lauter Schnittpunkte gemeinsam hat und
zwar genau /’,. zz -j- 1; diese Schnittpunkte seien bezeichnet mit
SU (y = 1,...; r,,; p = 1, 2,... 0. B. d. A. können wir überdies
annehmen, daß keiner der Punkte SO ein mehrfacher Punkt oder
ein Wendepunkt auf 21,. sei.
Da sich alles in einem beschränkten Teile der Ebene abspielt,
so können wir aus ) 21,.j eine Teilfolge herausgreifen derart, daß
die zugehörigen Teilfolgen aus jSOj gegen je einen Punkt Sy
konvergieren und zwar mindestens für j = 1,2, ...,n 1; die
zugehörige Teilfolge aus js,.| konvergiert dann gegen eine be-
stimmte Gerade g. Der Einfachheit wegen bezeichnen wir die so
gewählte Teilfolge wieder mit [21,.' bzw. mit bzw. mit {SO*.
Die Sj liegen auf g und zugleich auf 21". Da 21" die Ordnung rz
besitzt, so können unter den Sy höchstens n verschiedene Punkte
sich finden; andernfalls hätte ja g mit 21" mindestens (zz—1)
Punkte gemeinsam, und es gäbe zu g beliebig benachbarte Ge-
raden mit mindestens (zz + 1) Sc/zzzzTfpunkten 1X).
Wir nehmen nun an, es gebe unter den Sy genau k ver-
schiedene Punkte: 7\,..., Th (kS^ri). In Bezug auf jeden dieser
Punkte Tk gibt es nur die folgenden Möglichkeiten:
Erstens: Tk = T ist Schnittpunkt von g mit jedem durch T
laufenden Teilbogen von 21" und g ist keine Wendetangente von
21". Wir behaupten: Beider hiermit gekennzeichneten Möglichkeit
fehlen in T genau einer bzw. genau zwei der Sy zusammen, je
nachdem T einfacher oder mehrfacher Punkt von 21" ist. Ist T
Endpunkt von 21", so fällt nach T genau einer der Sj.
Beweis: Es sei zunächst T kein mehrfacher Punkt von 21". Da
die Tangente längs 21" und längs eines jeden 21,. stetig ist, und
da die Tangenten der 21,. gleichmäßig gegen die entsprechenden
Tangenten von 21" konvergieren, so gibt es eine zweidimensionale
Umgebung U von T, innerhalb welcher alle Tangenten t,. an 21,.
bei hinreichend großem v beliebig wenig von der Tangente! an
21" in T abweichen, und innerhalb welcher g mit 21" genau einen
(Schnitt)-Punkt, nämlich T, gemeinsam hat. Nun schließt aber t mit
g einen von Null verschiedenen Winkel ein. Daher kann U so
gewählt werden, daß der kleinere der beiden Winkel zwischen
u) Vergl. Marchaud, A., Sur les continus d’ordre borne, Acta math. 55
(1930), S. 79.