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https://doi.org/10.11588/diglit.37376#0016
16 (A. 17)
A. Loewy.
des § 4 und nach § 2 stets das Vorhandensein einer Sequente
niedrigerer Ordnung. Infolgedessen kann man auch folgende mit
(Ji) äquivalente Definition aufstellen:
Definition (Ja). Ein Differentialsystem 2t heißt
irreduzibel, wenn dasselbe keine Sequente von niedri-
gerer Ordnung besitzt, als die Anzahl der Funktionen
des Systems beträgt; sonst heißt das System 2t re-
duzib el.
Man kann beweisen, daß auch folgende Definition äquivalent
mit den Definitionen (JJ und (Ja) ist:
Definition (Jg). Ein Differentialsystem 2t heißt
irreduzibel, wenn es kein ihm subordiniertes Diffe-
rentialsystem gibt, sonst heißt es reduzibel.
Die Definitionen (Ja) und (Jg) stimmen mit denjenigen über-
ein, die Herr SCHLESINGER in seinen schon oben zitierten Vor-
lesungen über lineare Differentialgleichungen, Seite 105 bezw.
Seite 158 gibt. Unter Verwendung der Integralexistenz soll
noch folgende neue Definition für die Irreduzibilität eines Diffe-
rentialsystems aufgestellt werden, die mit den Definitionen (Jd,
(Ja) und (Jg) äquivalent ist.
Definition (JJ. Ein Differentialsystem 2t
&il yi V &i2 y2 *U ' ' d* &in yn d* &in-)-l ^i = 1, 2, . . ., nj
heißt irreduzibel, wenn es keine Funktion gibt, die
für yi gesetzt, gleichzeitig das Differentialgleichungs-
system
au yi + y2 d-h a^ y. d- An+i = 0 ^i 1, 2, ..., nj
und irgend ein solches^) für weniger als n Funktionen
mit Koeffizienten aus dem Rationalität.sb ereiche be-
friedigt; sonst heißt das System reduzibel.
Die Definition (JJ ist das Analogon zu der Definition der
Irreduzibilität einer einzigen linearen homogenen Differential-
gleichung bei Verwendung der Integralexistenz, wie sie Herr
FROBENius in seiner grundlegenden Arbeit^) eingeführt hat,
nämlich: Eine lineare homogene Differentialgleichung mit Koef-
fizienten aus einem Rationalitätsbereiche heißt irreduzibel, wenn
sie mit keiner linearen homogenen Differentialgleichung niedrigerer
d d. h. ebenfalls linear homogenes erster Ordnung (vgl. Anm. 1 auf 8. 3).
2) Journal f. reine u. angew. Math. 76, 8. 237 (1873).
A. Loewy.
des § 4 und nach § 2 stets das Vorhandensein einer Sequente
niedrigerer Ordnung. Infolgedessen kann man auch folgende mit
(Ji) äquivalente Definition aufstellen:
Definition (Ja). Ein Differentialsystem 2t heißt
irreduzibel, wenn dasselbe keine Sequente von niedri-
gerer Ordnung besitzt, als die Anzahl der Funktionen
des Systems beträgt; sonst heißt das System 2t re-
duzib el.
Man kann beweisen, daß auch folgende Definition äquivalent
mit den Definitionen (JJ und (Ja) ist:
Definition (Jg). Ein Differentialsystem 2t heißt
irreduzibel, wenn es kein ihm subordiniertes Diffe-
rentialsystem gibt, sonst heißt es reduzibel.
Die Definitionen (Ja) und (Jg) stimmen mit denjenigen über-
ein, die Herr SCHLESINGER in seinen schon oben zitierten Vor-
lesungen über lineare Differentialgleichungen, Seite 105 bezw.
Seite 158 gibt. Unter Verwendung der Integralexistenz soll
noch folgende neue Definition für die Irreduzibilität eines Diffe-
rentialsystems aufgestellt werden, die mit den Definitionen (Jd,
(Ja) und (Jg) äquivalent ist.
Definition (JJ. Ein Differentialsystem 2t
&il yi V &i2 y2 *U ' ' d* &in yn d* &in-)-l ^i = 1, 2, . . ., nj
heißt irreduzibel, wenn es keine Funktion gibt, die
für yi gesetzt, gleichzeitig das Differentialgleichungs-
system
au yi + y2 d-h a^ y. d- An+i = 0 ^i 1, 2, ..., nj
und irgend ein solches^) für weniger als n Funktionen
mit Koeffizienten aus dem Rationalität.sb ereiche be-
friedigt; sonst heißt das System reduzibel.
Die Definition (JJ ist das Analogon zu der Definition der
Irreduzibilität einer einzigen linearen homogenen Differential-
gleichung bei Verwendung der Integralexistenz, wie sie Herr
FROBENius in seiner grundlegenden Arbeit^) eingeführt hat,
nämlich: Eine lineare homogene Differentialgleichung mit Koef-
fizienten aus einem Rationalitätsbereiche heißt irreduzibel, wenn
sie mit keiner linearen homogenen Differentialgleichung niedrigerer
d d. h. ebenfalls linear homogenes erster Ordnung (vgl. Anm. 1 auf 8. 3).
2) Journal f. reine u. angew. Math. 76, 8. 237 (1873).