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https://doi.org/10.11588/diglit.37376#0017
Über lineare homogene Differentialsysteme.
(A. 17) 17
Ordnung, die ebenfalls Koeffizienten aus demselben Rationalitäts-
bereiche hat, ein Integral gemeinsam hat. Daß man den Begriff
der Irreduzibilität auch für ein Differentialsystem in der nämlichen
einfachen Weise definieren kann, ist meines Wissens noch nicht
ausgesprochen worden.
Man beweist: Für ein irreduzibles Differentialsystem
31 gibt es auch niemals eine Funktion 7],, wobei i eine
aus den Zahlen 2, 3,..., n bedeutet, die für yi gesetzt,
gleichzeitig das zu 31 zugehörige Differential System
und irgend eines für weniger als n Funktionen mit
Koeffizienten aus dem Rationalitätsbereiche befrie-
digt.
Durch den letzten Satz ist die Bevorzugung, die yi in der
Definition (JJ einnimmt, beseitigt, und man kann in (JJ für yi
auch eine der Größen yi (i = 2, 3, . . ., n) treten lassen.
Von neuen Sätzen, die mir über die Irreduzibilität der Diffe-
rentialgleichungssysteme noch weiter bekannt sind, sei hier nur
angeführt:
I. Gibt es eine Funktion 7], die gleichzeitig unter
den Integralen zweier Differentialsysteme mit Koef-
fizienten aus dem Rationalitätsbereiche auftritt, so
sind nicht beide gleichzeitig irreduzibel, ausgenom-
men, daß sie beide gegenseitig von derselben Art sind.
II. Zu jedem Differentialgleichungssystem gehört
wenigstens ein irreduzibles, so daß jedes Lösungs-
system des letzteren ein Teil eines Lösungssystems
des ersteren ist.
Für die beiden folgenden Sätze setzen wir voraus, daß der
Rationalitätsbereich alle Konstanten enthält. Alsdann gilt:
III. Sind und ^ (x = l, 2,..., n) zwei partikuläre
unabhängige Integralsysteme eines linearen homo-
genen Differentialgleichungssystems und besteht
eine Beziehung (a)^ = Yi^i + Y2^2 + --- + Yn^ wobei
YnY27---7Yn dem Rationalitätsbereich angehören, so
ist das System reduzibel. Unter der weitergehenden
Voraussetzung, daß statt einer einzigen solchen Bedingung (a)
deren n bestehen, ist dieses Theorem von Herrn ScuLESiNGER in
seinen Vorlesungen, Seite 117 hergeleitet und als Satz von
FROBENiusi) bezeichnet worden.
i) Vgl. FROBENius, Journal f. reine u. angew. Math. 76, 268.
Sitzungsberichte d. Heideib. Akademie, math.-naturw. KL A. 1913. 17. Abh. 2
(A. 17) 17
Ordnung, die ebenfalls Koeffizienten aus demselben Rationalitäts-
bereiche hat, ein Integral gemeinsam hat. Daß man den Begriff
der Irreduzibilität auch für ein Differentialsystem in der nämlichen
einfachen Weise definieren kann, ist meines Wissens noch nicht
ausgesprochen worden.
Man beweist: Für ein irreduzibles Differentialsystem
31 gibt es auch niemals eine Funktion 7],, wobei i eine
aus den Zahlen 2, 3,..., n bedeutet, die für yi gesetzt,
gleichzeitig das zu 31 zugehörige Differential System
und irgend eines für weniger als n Funktionen mit
Koeffizienten aus dem Rationalitätsbereiche befrie-
digt.
Durch den letzten Satz ist die Bevorzugung, die yi in der
Definition (JJ einnimmt, beseitigt, und man kann in (JJ für yi
auch eine der Größen yi (i = 2, 3, . . ., n) treten lassen.
Von neuen Sätzen, die mir über die Irreduzibilität der Diffe-
rentialgleichungssysteme noch weiter bekannt sind, sei hier nur
angeführt:
I. Gibt es eine Funktion 7], die gleichzeitig unter
den Integralen zweier Differentialsysteme mit Koef-
fizienten aus dem Rationalitätsbereiche auftritt, so
sind nicht beide gleichzeitig irreduzibel, ausgenom-
men, daß sie beide gegenseitig von derselben Art sind.
II. Zu jedem Differentialgleichungssystem gehört
wenigstens ein irreduzibles, so daß jedes Lösungs-
system des letzteren ein Teil eines Lösungssystems
des ersteren ist.
Für die beiden folgenden Sätze setzen wir voraus, daß der
Rationalitätsbereich alle Konstanten enthält. Alsdann gilt:
III. Sind und ^ (x = l, 2,..., n) zwei partikuläre
unabhängige Integralsysteme eines linearen homo-
genen Differentialgleichungssystems und besteht
eine Beziehung (a)^ = Yi^i + Y2^2 + --- + Yn^ wobei
YnY27---7Yn dem Rationalitätsbereich angehören, so
ist das System reduzibel. Unter der weitergehenden
Voraussetzung, daß statt einer einzigen solchen Bedingung (a)
deren n bestehen, ist dieses Theorem von Herrn ScuLESiNGER in
seinen Vorlesungen, Seite 117 hergeleitet und als Satz von
FROBENiusi) bezeichnet worden.
i) Vgl. FROBENius, Journal f. reine u. angew. Math. 76, 268.
Sitzungsberichte d. Heideib. Akademie, math.-naturw. KL A. 1913. 17. Abh. 2