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https://doi.org/10.11588/diglit.37376#0018
18 (A. 17)
A. Loewy.
IV. Irgend ein irreduzibles lineares homogenes Dif-
ferentialgleichungssystem 91 erster Ordnung für n Funk-
tionen habe einen Teil 7]^, 7]g, . . - , 7]^ n) eines partiku-
lären Integralsystems 7]i, 7^, ...,7),, mit irgend einem
(nicht notwendig linear homogen vorauszusetzenden^))
Differentialsystem ^ beliebiger Ordnung für v Funk-
tionen gemeinsam. T) habe ebenso wie 91 nur Koeffizien-
ten aus dem Rationalitätsbereich. Alsdann kann man
stets wenigstens ein Fundamentalsystem von Lösungen,
des linearen Systems 91 finden, sodaß die ersten v Funk-
tionen jedes der n Integralsysteme, die das betreffende
Fundamentalsystem von 91 bilden, auch dem Differen-
tialsystem genügen. Ich hebe noch ausdrücklich hervor, daß
deswegen durchaus nicht die ersten v Funktionen jedes Integral-
systems von 91 auch dem System S) zu genügen brauchen, da
letzteres nicht linear homogen sein muß. Bemerkenswert an Satz IV
erscheint, daß die Irreduzibilität anknüpfend an ausschließlich lineare
homogene Differentialsysteme erklärt wurde, also anders wie bei
Herrn KoENiGSBERGER in seinem Lehrbuch der Theorie der Diffe-
rentialgleichungen mit einer unabhängigen Variabein (Leipzig 1889,
S. 155), und man auch von dem hier eingenommenen Standpunkte
aus eine Aussage über das Verhalten der Integrale des linearen
homogenen Systems 9t zu einem beliebigen (also nicht notwendig
linearen) System 3) machen kann.
Satz IV kann erweitert werden, indem man die
Forderung der Irreduzibilität des Systems 9t fortläßt
und hierfür die schwächere Voraussetzung macht, daß
die n Funktionen y^, 7)2, . . 7^ ein solches partikuläres
Integralsystem von 9t bilden sollen, sodaß keine der
n Funktionen 7p, 7)2, ...,7]n einem linearen homogenen
Differentialgleichungssystem erster Ordnung für weni-
ger als n Funktionen genügt. Z. B. ist für das reduzible
lineare homogene Differentialsystem 9t
ein derartiges partikuläres Integralsystem yp, 7)2, 7)3, wie wir es bei
der Erweiterung des Satzes IV voraussetzen, das Funktionensystem
i) Durch die Voraussetzung der Irreduzibilität von % ist übrigens nach
Definition (<R) ausgeschlossen, daß für r<7 n das Differentialsystem S&
linear homogen und erster Ordnung sein kann.
A. Loewy.
IV. Irgend ein irreduzibles lineares homogenes Dif-
ferentialgleichungssystem 91 erster Ordnung für n Funk-
tionen habe einen Teil 7]^, 7]g, . . - , 7]^ n) eines partiku-
lären Integralsystems 7]i, 7^, ...,7),, mit irgend einem
(nicht notwendig linear homogen vorauszusetzenden^))
Differentialsystem ^ beliebiger Ordnung für v Funk-
tionen gemeinsam. T) habe ebenso wie 91 nur Koeffizien-
ten aus dem Rationalitätsbereich. Alsdann kann man
stets wenigstens ein Fundamentalsystem von Lösungen,
des linearen Systems 91 finden, sodaß die ersten v Funk-
tionen jedes der n Integralsysteme, die das betreffende
Fundamentalsystem von 91 bilden, auch dem Differen-
tialsystem genügen. Ich hebe noch ausdrücklich hervor, daß
deswegen durchaus nicht die ersten v Funktionen jedes Integral-
systems von 91 auch dem System S) zu genügen brauchen, da
letzteres nicht linear homogen sein muß. Bemerkenswert an Satz IV
erscheint, daß die Irreduzibilität anknüpfend an ausschließlich lineare
homogene Differentialsysteme erklärt wurde, also anders wie bei
Herrn KoENiGSBERGER in seinem Lehrbuch der Theorie der Diffe-
rentialgleichungen mit einer unabhängigen Variabein (Leipzig 1889,
S. 155), und man auch von dem hier eingenommenen Standpunkte
aus eine Aussage über das Verhalten der Integrale des linearen
homogenen Systems 9t zu einem beliebigen (also nicht notwendig
linearen) System 3) machen kann.
Satz IV kann erweitert werden, indem man die
Forderung der Irreduzibilität des Systems 9t fortläßt
und hierfür die schwächere Voraussetzung macht, daß
die n Funktionen y^, 7)2, . . 7^ ein solches partikuläres
Integralsystem von 9t bilden sollen, sodaß keine der
n Funktionen 7p, 7)2, ...,7]n einem linearen homogenen
Differentialgleichungssystem erster Ordnung für weni-
ger als n Funktionen genügt. Z. B. ist für das reduzible
lineare homogene Differentialsystem 9t
ein derartiges partikuläres Integralsystem yp, 7)2, 7)3, wie wir es bei
der Erweiterung des Satzes IV voraussetzen, das Funktionensystem
i) Durch die Voraussetzung der Irreduzibilität von % ist übrigens nach
Definition (<R) ausgeschlossen, daß für r<7 n das Differentialsystem S&
linear homogen und erster Ordnung sein kann.