Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

10 (A. 14)

Oskar Perron:

Wenn ferner ???.<; /(a;) A TU, so hat man
woraus auch unsere Behauptung über die Derivierten von F (?/)
ohne weiteres folgt.
SATZ 8. Ist a: = g(z/) eine monoton wachsende Funk-
tion ohne Konstanzintervalle, sodaß für
a = g(a) < g(yj < g(y,) < g(f?) = ^
ist, und hat g(?/) eine beschränkte Ableitung g'(?/), so
gilt die Formel
//(a;)da: = ^/(g(y))g'(y)# ,
a ä

sofern das links stehende Integral existiert.
In der Tat, wenn <p(;r), im Intervall (%, zu /(^) adjun-
gierte Funktionen sind, so ist
D<p(a?) A /(%) A D?g(a;) ,

also bei festgehaltenem % für beliebig kleine positive e


e < /(a?) <

a?

sobald nur ^ genügend nahe bei 2 hegt. Daher auch

<y(g (??>)—<y(g(y))

e < /(g(y)) <

v(g (h))—v(g (y))

g(h)—g(y) g(h)—g(y)
sofern genügend nahe bei y liegt. Multipliziert man diese Un-
gleichung mit der nach unserer Voraussetzung positiven Zahl
g(b)-g(y)
b—y
und läßt dann ?? gegen y wandern, so kommt
T*<?(g(y)) —sg (?/) < /(g(y))g (y) A D^(g(y)) + eg (y) .

Da e beliebig klein ist, so besagt das soviel wie
D<p(g(y)) < /(g(y))g (y) A Tw(g(y)) -
Also sind 0(y) = <p(g(y)) und y(i/)=?g(g(?/)) im Intervall (a, /?)
zu /(g(y))g'(y) adjungierte Funktionen, womit der Satz be-
wiesen ist.
SATZ 9. Wenn die im Intervall (%, &) integrierbaren
Funktionen ^(a;), - -- gleichmäßig gegen eine