Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über den Integralbegriff.

(A. 14) 15

Die Konstruktion von solchen adjungierten Funktionen ist
möglich, wie klein auch die positive Zahl e' sei. Damit ist der
Satz bewiesen.

§ 5.
Integration nicht beschränkter Funktionen.
Sei /(a?) eine für aAa?A& definierte Funktion, aber nicht
beschränkt. Unsere Integraldefinition überträgt sich ohne
Schwierigkeit auf diesen Fall. Zunächst werden die adjungierten
Unter- und Oberfunktionen ebenso definiert wie in § 2. Nur ist
es jetzt nicht gewiß, daß solche Funktionen existieren.
Wenn nicht sowohl Unter- wie Oberfunktionen vorhanden sind,
sagen wir, das Integral
&
J /(a?)da?
divergiere. Das tritt z. B. ein bei den Integralen
1 1 2
Z da? /' da? /* da?
d ' d 1 ' ./ Y=Y '
0 0 0
wobei der Integrand an der Stelle a?=l noch beliebig definiert
sein kann. Beim ersten Integral sind zwar adjungierte Unter-
funktionen vorhanden, z. B. (p(a?)=]/l—a? —1, aber offenbar keine
Oberfunktionen; beim zweiten sind Oberfunktionen vorhanden,
aber keine Unterfunktionen; beim dritten endlich gibt es weder
Unter- noch Oberfunktionen.
Wir nehmen jetzt an, daß Unter- und Oberfunktionen vor-
handen sind. Aus den Ungleichungen
D <p (a?) A f(a?) AD(a?)
folgt dann wegen <p(a)=ig(%) = 0 wieder
Bezeichnet daher ^(a?) eine bestimmte Oberfunktion, so kann
der Endwert (p(&) einer jeden Unterfunktion <p(a?) nicht über
liegen. Diese Endwerte sind daher nach oben beschränkt und haben
folglich eine endliche obere Grenze g. Ebenso haben die Endwerte
W&) der Oberfunktionen eine endliche untere Grenze G, und es ist
G^g. Die Definition des Integrals ist jetzt die gleiche wie im Fall
eines beschränkten Integranden.