Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Paul Stäckel:

räume. In Wirklichkeit verhält es sich jedoch anders, und es
sind bei den Grundlagen der Differentialgeometrie Unklarheiten
vorhanden, die beseitigt werden müssen, wenn man darauf mit
Sicherheit weiterbauen will; zum Beispiel gelten die zahlreichen
Beweise, bei denen man die Bogenlänge zur unabhängigen Verän-
derlichen wählt, nur unter gewissen Einschränkungen, die, wie sich
heraussteilen wird, keineswegs unwesentlich sind. Wenn man
übrigens die Literatur der Differentialgeometrie durchgeht, so
steht es sich heraus, daß seit der HuYGENSschen Evolutentheoric
die Fälle gar nicht selten sind, in denen man bei der Verwendung
jener Begriffe auf Schwierigkeiten gestoßen ist. Man ist jedoch
darüber mit einem ,,il est clair" hinweggegangen oder hat sich
mit Auskunftsmitteln begnügt, die den Kern der Sache nicht
treffen. Jedenfalls fehlt es durchaus an einer grundsätzlichen
Prüfung des Gegenstandes.
Damit man von vornherein die Bedeutung der hier auf-
geworfenen Fragestellung für die Differentialgeometrie erkennt,
schien es zweckmäßig, die folgenden Betrachtungen an bestimmte,
geschichtlich gegebene Aufgaben anzuknüpfen, und zwar bildet den
Ausgangspunkt (§ 1) ein merkwürdiges Beweisverfahren, mittels
dessen NEWTON zu zeigen versucht hat, daß es unmöglich sei,ein Oval
algebraisch zu rektifizieren, das heißt, die Bogenlänge einer ge-
schlossenen Kurve, gezählt von einem bestimmten Anfangspunkt
bis zu einem beliebigen Kurvenpunkt, durch eine algebraische
Gleichung zu bestimmen. Daß NEWTONS Unmöglichkeitsbeweis
in dieser Allgemeinheit nicht stichhaltig ist, hat man schon im
18. Jahrhundert bemerkt (§2), denn es stellte sich heraus, daß es
algebraisch rektifizierbare geschlossene algebraische Kurven gibt;
jedoch gelang es nicht, eine befriedigende Erklärung für das Auf-
treten solcher Ausnahmefälle zu finden, vielmehr wurde man zu
Erscheinungen geführt, die sich als Paradoxien der Analysis dar-
stellten. Es kommen hier besonders Untersuchungen von d'ALEM-
BERT und MASCHERONi in Betracht. MASCHERONis seltene Achm-
mhoT^e^ cnhTpMm m^eg7'oh777. AhhU sind durch den Wiederab-
druck im 12. Bande der ersten Reihe der Operu 077mm Leo77Aurdi
UhhU in dankenswerter Weise bequem zugänglich gemacht wor-
den; durch die Ad7To^aho77e.y ist der Verfasser erst auf die Stellen
bei NEWTON und d'ALEMBERT geführt worden, die ihm bei früheren
Untersuchungen über Rektifikationsprobleme entgangen waren.
Auf ähnliche Schwierigkeiten wie bei NEWTONS Unmöglichkeits-