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https://doi.org/10.11588/diglit.37410#0014
14 (A. 2)
Paul Stacke!:
zählig vielen Werte der Größe A entsprechen, so gehören dazu
auch unzählig viele Werte der Funktion weil diese
Werte nach der Voraussetzung der Monotonie alle voneinander
verschieden sind, und es sind daher dem Kurvenpunkte P auch
unzählig viele Werte von c zugeordnet. Das ist aber ein Wider-
spruch, weil cfA) algebraisch von % abhängen, mithin für jeden
Wert von 2 nur eine endliche Anzahl von Werten besitzen sollte.
Demnach gibt es keine Kurve der verlangten Beschaffenheit.
Daß die soeben dargelegte Schlußweise unzulänglich ist, zeigt
das Beispiel = denn es gibt geschlossene algebraische
Kurven, die sich algebraisch rektifizieren lassen. Wie im näch-
sten Paragraphen genauer auseinandergesetzt werden wird, be-
steht die Lücke darin, daß bei dem Beweise das Wort Bogen-
länge in doppelter Bedeutung gebraucht wird. Wenn man aus-
sagt, daß zu einem Kurvenpunkte P unzählig viele Werte der Bogen-
länge gehören, so versteht man darunter die Länge des Weges, den
man beim Durchlaufen der Kurve zurücklegt, eine Größe, die man
als geometrische Bogenlänge bezeichnen könnte. Wenn man
dagegen verlangt, daß die Kurve algebraisch rektifizierbar sein
soll, so versteht man unter der Bogenlänge den Wert des Integrals
(7) -
und fordert, daß dieses ÄBELsche Integral algebraisch integrier-
bar sein soll; man könnte als analytische Bogenlänge be-
zeichnen. Man erkennt, daß jene Schlußweise nur dann zulässig
ist, wenn die geometrische und die analytische Bogenlänge be-
ständig miteinander übereinstimmen, daß sie aber versagt, sobald
beim Wandern auf der Kurve ein Punkt angetroffen wird, von dem
ab die Übereinstimmung aufhört, in dem also die analytische
Bogenlänge vom Zunehmen zum Abnehmen übergeht. Umge-
kehrt wird man aus der Tatsache, daß es geschlossene algebraische
Kurven gibt, die sich algebraisch rektifizieren lassen, erschließen
dürfen, daß die eben genannte Möglichkeit wirklich eintreten
kann. Entsprechende Betrachtungen lassen sich für den Fall
einer Größe 6^2) anstellen.
§ 3.
Geometrische und analytische Fortsetzung.
Wenn es auch bei den Funktionen einer reellen Veränder-
lichen 2, wie SCHLESINGER sich ausdrückt, ,,kein in der Natur
Paul Stacke!:
zählig vielen Werte der Größe A entsprechen, so gehören dazu
auch unzählig viele Werte der Funktion weil diese
Werte nach der Voraussetzung der Monotonie alle voneinander
verschieden sind, und es sind daher dem Kurvenpunkte P auch
unzählig viele Werte von c zugeordnet. Das ist aber ein Wider-
spruch, weil cfA) algebraisch von % abhängen, mithin für jeden
Wert von 2 nur eine endliche Anzahl von Werten besitzen sollte.
Demnach gibt es keine Kurve der verlangten Beschaffenheit.
Daß die soeben dargelegte Schlußweise unzulänglich ist, zeigt
das Beispiel = denn es gibt geschlossene algebraische
Kurven, die sich algebraisch rektifizieren lassen. Wie im näch-
sten Paragraphen genauer auseinandergesetzt werden wird, be-
steht die Lücke darin, daß bei dem Beweise das Wort Bogen-
länge in doppelter Bedeutung gebraucht wird. Wenn man aus-
sagt, daß zu einem Kurvenpunkte P unzählig viele Werte der Bogen-
länge gehören, so versteht man darunter die Länge des Weges, den
man beim Durchlaufen der Kurve zurücklegt, eine Größe, die man
als geometrische Bogenlänge bezeichnen könnte. Wenn man
dagegen verlangt, daß die Kurve algebraisch rektifizierbar sein
soll, so versteht man unter der Bogenlänge den Wert des Integrals
(7) -
und fordert, daß dieses ÄBELsche Integral algebraisch integrier-
bar sein soll; man könnte als analytische Bogenlänge be-
zeichnen. Man erkennt, daß jene Schlußweise nur dann zulässig
ist, wenn die geometrische und die analytische Bogenlänge be-
ständig miteinander übereinstimmen, daß sie aber versagt, sobald
beim Wandern auf der Kurve ein Punkt angetroffen wird, von dem
ab die Übereinstimmung aufhört, in dem also die analytische
Bogenlänge vom Zunehmen zum Abnehmen übergeht. Umge-
kehrt wird man aus der Tatsache, daß es geschlossene algebraische
Kurven gibt, die sich algebraisch rektifizieren lassen, erschließen
dürfen, daß die eben genannte Möglichkeit wirklich eintreten
kann. Entsprechende Betrachtungen lassen sich für den Fall
einer Größe 6^2) anstellen.
§ 3.
Geometrische und analytische Fortsetzung.
Wenn es auch bei den Funktionen einer reellen Veränder-
lichen 2, wie SCHLESINGER sich ausdrückt, ,,kein in der Natur