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https://doi.org/10.11588/diglit.37410#0021
Beiträge zur Kritik der Differentialgeometrie.
(A. 2) 21
§ 4.
Zur Lehre von den geschlossenen analytischen Kurven.
Ein monogenes analytisches Gebilde im Gebiet von zwei
komplexen Veränderlichen % und läßt sich bekanntlich als eine
Gesamtheit von Funktionselementen der Form
(15)
auffassen, unter Pi (%) und P^, gewöhnliche Potenzreihen
von den i verstanden, bei der je zwei Elemente durch eine analy-
tisch zusammenhängende Reihe von lauter zum Gebilde gehörigen
Funktionselementen miteinander verbunden sind, eine Gesamtheit,
die sich auf keine Weise durch Hinzufügung von Funktions-
elementen so erweitern läßt, daß der erweiterten Gesamtheit die-
selbe Eigenschaft zukommU.
Die Gesamtheit der reellen Wertsysteme %, y, die dem Ge-
bilde angehören, soll als die darin enthaltene analytische Kurve
bezeichnet werden. Ob man der Kurve die Grenzpunkte hinzu-
rechnen will, die aus wesentlich singulären Punkten des Gebildes
entspringen, oder nicht, ist eine Frage der Zweckmäßigkeit; wenn
man es tut, würde zum Beispiel die Kurve
(16) ^+[l + Vy)=l
als geschlossen anzusehen sein, sonst als offen. Planmäßige Unter-
suchungen über das Verhalten analytischer Kurven in der Um-
gebung solcher Grenzstellen scheinen bis jetzt noch nicht ange-
stellt worden zu sein; die in der Fehre von den algebraischen
Kurven entwickelten Hilfsmittel sind hierfür jedenfalls unzu-
reichend. Im folgenden soll angenommen werden, daß der betrach-
tete Zweig der analytischen Kurve keine solche Grenzstellen be-
sitzt; er wird dann durch eine abzählbar unendliche Reihe von
Funktionselementen der Form (15) vollständig dargestellt werden
können. Die Voraussetzung, daß keine Grenzstellen auftreten,
wird sicher erfüllt sein, wenn es eine von Null verschiedene Kon-
stante c gibt, derart, daß in dem die reelle Achse der 2-Ebene
einschließenden Streifen zwischen den Geraden %=-}- tc und %=—tc
keine wesentlich singuläre Stelle des Gebildes liegt.
s WEIERSTRASS, Vorlesungen d&er die DAeorie der H&eiscAen Drnnszen-
denten, Werke, Bd. IV, S. 16—19; vgl. STUDY, Voriesungen d&er HMSgeirddÜe
Gegenstände der Geometrie, 1. Heft: DAene anodi/hscäe Aurcen und zu iAnen
gehörende ÜAAiidungen, Leipzig 1911, S. 38—43, und WEYL, Die ddee der
DiemannscAen FidcAe, Leipzig 1913, Kap. I, §§ 1—3.
(A. 2) 21
§ 4.
Zur Lehre von den geschlossenen analytischen Kurven.
Ein monogenes analytisches Gebilde im Gebiet von zwei
komplexen Veränderlichen % und läßt sich bekanntlich als eine
Gesamtheit von Funktionselementen der Form
(15)
auffassen, unter Pi (%) und P^, gewöhnliche Potenzreihen
von den i verstanden, bei der je zwei Elemente durch eine analy-
tisch zusammenhängende Reihe von lauter zum Gebilde gehörigen
Funktionselementen miteinander verbunden sind, eine Gesamtheit,
die sich auf keine Weise durch Hinzufügung von Funktions-
elementen so erweitern läßt, daß der erweiterten Gesamtheit die-
selbe Eigenschaft zukommU.
Die Gesamtheit der reellen Wertsysteme %, y, die dem Ge-
bilde angehören, soll als die darin enthaltene analytische Kurve
bezeichnet werden. Ob man der Kurve die Grenzpunkte hinzu-
rechnen will, die aus wesentlich singulären Punkten des Gebildes
entspringen, oder nicht, ist eine Frage der Zweckmäßigkeit; wenn
man es tut, würde zum Beispiel die Kurve
(16) ^+[l + Vy)=l
als geschlossen anzusehen sein, sonst als offen. Planmäßige Unter-
suchungen über das Verhalten analytischer Kurven in der Um-
gebung solcher Grenzstellen scheinen bis jetzt noch nicht ange-
stellt worden zu sein; die in der Fehre von den algebraischen
Kurven entwickelten Hilfsmittel sind hierfür jedenfalls unzu-
reichend. Im folgenden soll angenommen werden, daß der betrach-
tete Zweig der analytischen Kurve keine solche Grenzstellen be-
sitzt; er wird dann durch eine abzählbar unendliche Reihe von
Funktionselementen der Form (15) vollständig dargestellt werden
können. Die Voraussetzung, daß keine Grenzstellen auftreten,
wird sicher erfüllt sein, wenn es eine von Null verschiedene Kon-
stante c gibt, derart, daß in dem die reelle Achse der 2-Ebene
einschließenden Streifen zwischen den Geraden %=-}- tc und %=—tc
keine wesentlich singuläre Stelle des Gebildes liegt.
s WEIERSTRASS, Vorlesungen d&er die DAeorie der H&eiscAen Drnnszen-
denten, Werke, Bd. IV, S. 16—19; vgl. STUDY, Voriesungen d&er HMSgeirddÜe
Gegenstände der Geometrie, 1. Heft: DAene anodi/hscäe Aurcen und zu iAnen
gehörende ÜAAiidungen, Leipzig 1911, S. 38—43, und WEYL, Die ddee der
DiemannscAen FidcAe, Leipzig 1913, Kap. I, §§ 1—3.