Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Einleitung.

Der Differentialgeometrie eignet eine Mittelstellung zwischen
der Geometrie im engeren Sinne des Wortes und der Analysis.
Jener entnimmt sie einen großen und bedeutsamen Teil ihrer Fragen,
diese liefert ihr wirksame Mittel zu deren Beantwortung, und zwar
erweist es sich in vielen Fällen als notwendig oder doch nützlich,
über die Analysis der reellen Größen hinausgehend komplexe
Größen mit zwei oder mehr Einheiten heranzuziehen. Die Ver-
wendung des Komplexen bedingt zum Teil eine Erweiterung des
Gebietes, auf dem man sich bewegt, insofern die ursprünglich für
den reellen Bereich erklärten Begriffe auf den komplexen Bereich
ausgedehnt werden, zum Teil aber eine Verengerung, insofern
analytische Funktionen von einer oder mehreren Veränderlichen
vorausgesetzt werden. Bei dieser verwickelten Sachlage ist es
erklärlich, daß man es häufig unterlassen hat, bei der Fassung
der Ergebnisse, zu denen man gelangte, die Bedingungen,
unter denen sie hergeleitet wurden, und die Beschränkungen,
unter denen sie gültig sind, genau auszusprechen, und daß solche
Ergebnisse nicht selten in Fällen benützt worden sind, in denen
sie gar nicht oder doch nur mit Vorsicht verwendet werden durften;
auch ergeben sich bei der Einführung der komplexen Größen ge-
wisse Schwierigkeiten, die man anfangs übersehen oder doch unter-
schätzt hat, weil man geneigt war, die reelle Geometrie als einen
besonderen Fall, sozusagen als eine Projektion der komplexen
Geometrie aufzufassen.
Es ist ein bleibendes Verdienst STUDYs, auf die hieraus her-
vorgegangenen Miß stände nachdrücklich hingewiesen und eine
strenge Kritik nicht nur gefordert, sondern auch für wichtige
Teile der Differentialgeometrie mit Erfolg durchgeführt zu haben.
Auch die vorliegende Abhandlung soll einen Beitrag zur Kritik der
Differentialgeometrie liefern, und zwar wird es sich dabei um eine
Reihe von Begriffen handeln, die an der Spitze dieser Lehre stehen
ünd von denen man anzunehmen pflegt, daß bei ihnen längst
.alles in Ordnung gebracht sei, wenigstens solange man sich auf ana-
lytische Gebilde beschränkt; Begriffe, wie etwa die zu einer ana-
lytischen Kurve gehörige Bogenlänge und die zugehörigen Flächen-