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https://doi.org/10.11588/diglit.37410#0008
8(A. 2)
Paul Stäckel:
NEWTON hat dem Lemma zwei wichtige Bemerkungen hinzu-
gefügt. sagt er zunächst, ,,$2
poüi p7772c^2, ^770 ^pmu^U cuphhur ocu^M perime^ro
prop<?7^m^u^e, pro&mk pofe^p ^770<i U72^2^777fo perfnze^ri
Tzezyzz^ per ue^M^m/zem g'ezzeru^her eaAi&TÜ." Hiernach
soll die Grenzkurve des Ovals deshalb nicht algebraisch rekti-
fizierbar sein, weil einem Punkte der Kurve, deren Leitstrahl dem
abgeschnittenen Stücke des Umfangs des Ovals proportional
ist, wegen der unzählig vielen möglichen Umläufe unzählig viele
Werte der Bogenlänge entsprechen, während bei einer algebraisch
rektifizierbaren Kurve die An-
zahl dieser Werte endlich ist.
Man erkennt sofort, daß NEW-
TONs Verfahren, soweit es sich
rechtfertigen läßt, immer dann
anwendbar sein wird, wenn den
Punkten einer geschlossenen Kur-
ve eine veränderliche Größe 6"
zugeordnet wird, die beim Durch-
laufen der Kurve beständig zu-
nimmt, sodaß jedem Kurven-
punkte unzählig viele Werte von
S* entsprechen.
Ferner heißt es: ,,De
6nhe?% /22c Mz/2207^, zyzzue 72077 imz-
^2272 ^ 227' <3 0072/22^22^26' 772
272/ 272 Ü72772 pe7'/?e72h&226." Was NEW-
TON hiermit gemeint hat, zeigt
die Figur 2, bei der die Kurve
in L? einen Doppelpunkt mit vereinigten Tangenten besitzt. Das
Kurvenstück BQDEB ist dann ein Oval, man erhält indessen,
wenn die Punkte der Kurve in der Folge ABCDEBF durchlaufen
werden, keine Spirale. Hieraus geht hervor, daß der Begriff des
Ovals und allgemeiner der Begriff der geschlossenen Kurve einer
genaueren Untersuchung bedarf, wenn man die Bedingungen an-
geben will, unter denen das Verfahren von NEWTON zulässig ist.
Die Verallgemeinerung vom Oval auf die geschlossene Kurve
hat darin ihren Grund, daß jenes Verfahren eine Spirale liefert,
sobald die Kurve in sich zurückkehrt; diese Eigenschaft allein
ist hierfür wesentlich.
Paul Stäckel:
NEWTON hat dem Lemma zwei wichtige Bemerkungen hinzu-
gefügt. sagt er zunächst, ,,$2
poüi p7772c^2, ^770 ^pmu^U cuphhur ocu^M perime^ro
prop<?7^m^u^e, pro&mk pofe^p ^770<i U72^2^777fo perfnze^ri
Tzezyzz^ per ue^M^m/zem g'ezzeru^her eaAi&TÜ." Hiernach
soll die Grenzkurve des Ovals deshalb nicht algebraisch rekti-
fizierbar sein, weil einem Punkte der Kurve, deren Leitstrahl dem
abgeschnittenen Stücke des Umfangs des Ovals proportional
ist, wegen der unzählig vielen möglichen Umläufe unzählig viele
Werte der Bogenlänge entsprechen, während bei einer algebraisch
rektifizierbaren Kurve die An-
zahl dieser Werte endlich ist.
Man erkennt sofort, daß NEW-
TONs Verfahren, soweit es sich
rechtfertigen läßt, immer dann
anwendbar sein wird, wenn den
Punkten einer geschlossenen Kur-
ve eine veränderliche Größe 6"
zugeordnet wird, die beim Durch-
laufen der Kurve beständig zu-
nimmt, sodaß jedem Kurven-
punkte unzählig viele Werte von
S* entsprechen.
Ferner heißt es: ,,De
6nhe?% /22c Mz/2207^, zyzzue 72077 imz-
^2272 ^ 227' <3 0072/22^22^26' 772
272/ 272 Ü72772 pe7'/?e72h&226." Was NEW-
TON hiermit gemeint hat, zeigt
die Figur 2, bei der die Kurve
in L? einen Doppelpunkt mit vereinigten Tangenten besitzt. Das
Kurvenstück BQDEB ist dann ein Oval, man erhält indessen,
wenn die Punkte der Kurve in der Folge ABCDEBF durchlaufen
werden, keine Spirale. Hieraus geht hervor, daß der Begriff des
Ovals und allgemeiner der Begriff der geschlossenen Kurve einer
genaueren Untersuchung bedarf, wenn man die Bedingungen an-
geben will, unter denen das Verfahren von NEWTON zulässig ist.
Die Verallgemeinerung vom Oval auf die geschlossene Kurve
hat darin ihren Grund, daß jenes Verfahren eine Spirale liefert,
sobald die Kurve in sich zurückkehrt; diese Eigenschaft allein
ist hierfür wesentlich.