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https://doi.org/10.11588/diglit.37410#0010
10 (A. 2)
Paul Stacke!:
diese Formel liefert jedoch, wenn /ß<ß = d ist, einen imaginären
Wert von 2/. Im besonderen betrachtet d'ALEMBERT das Beispiel:
(2) U? F
bei dem sich für 7% = 1 die Astroide (Fig. 3):
(3) ß—3?)3-p
ergibt. Ist 3p die unmittelbar gemessene Länge des Kurvenbogens
Add, so gehören zum Kurvenpunkte dd unzählig viele Werte der
Bogenlänge 3, die sich in der Form:
Ai
darstellen lassen. Hieraus aber müsse man schließen, meint d'ALEM-
BERT, daß im Widerspruch mit der Gleichung (2) das Integral
für den Bogen sich nicht algebraisch integrieren lasse. Auch scheine
der Beweis NEWTONS, daß die Bogenlänge einer geschlossenen
Kurve nicht allgemein durch eine algebraische Gleichung gefun-
den werden könne, hier nicht anwendbar zu sein.
Um das Paradoxon aufzuklären, sagt d'ALEMBERT, müsse
man beachten, daß die Ordinaten der Kurve für 3? > AU imaginär
werden, während der Ausdruck (2) einen reellen Wert behält.
,,Cela vient de ce que cette quantite n'exprime pas veritablement
et strictement l'arc de la courbe, eile exprime seulement l'integrale
j/da^-j-dß. Or quoyque d?/ soit imaginaire, cette quantite
peut etre reelle, tant que dß ne sera pas plus petit que darb Ainsi
l'integrale de da:]/ ß—ap) "3" ne doit pas etre une quantite en serie
indefinie, parce qu'elle ne devient pas imaginaire ni quand a? > AU
ni quand a: est negative."
Wenn diese Ausführungen auch der Ergänzung bedürfen,
so hat d'ALEMBERT doch mit der Erkenntnis, daß zwischen der geo-
metrisch erklärten Bogenlänge einer Kurve und dem analytischen
Ausdruck / j/daP + dß ein grundsätzlicher Unterschied besteht,
einen wesentlichen Beitrag zur Erledigung der hier vorliegenden
Schwierigkeiten geliefert.
Zwanzig Jahre später ist d'ALEMBERT auf den Gegenstand
zurückgekommen, in den Fa^aA? de ßn3ieMr3 ^e%7"e3 de faM^enr
3MT di//e7'e77^3 3M/'e^3, ec7Ae3 d%%3 ^e coM7'%72^ de dunTzee 77d/, Opus-
cules math., T. IV, Paris 1768, S. 65—68, ohne daß man sagen
könnte, daß er tiefer in die Frage eingedrungen wäre. Er begnügt
sich vielmehr damit, den alten Paradoxien neue hinzuzufügen,
die, wie er mit einer Lieblingswendung seiner späteren Jahre sagt,
Paul Stacke!:
diese Formel liefert jedoch, wenn /ß<ß = d ist, einen imaginären
Wert von 2/. Im besonderen betrachtet d'ALEMBERT das Beispiel:
(2) U? F
bei dem sich für 7% = 1 die Astroide (Fig. 3):
(3) ß—3?)3-p
ergibt. Ist 3p die unmittelbar gemessene Länge des Kurvenbogens
Add, so gehören zum Kurvenpunkte dd unzählig viele Werte der
Bogenlänge 3, die sich in der Form:
Ai
darstellen lassen. Hieraus aber müsse man schließen, meint d'ALEM-
BERT, daß im Widerspruch mit der Gleichung (2) das Integral
für den Bogen sich nicht algebraisch integrieren lasse. Auch scheine
der Beweis NEWTONS, daß die Bogenlänge einer geschlossenen
Kurve nicht allgemein durch eine algebraische Gleichung gefun-
den werden könne, hier nicht anwendbar zu sein.
Um das Paradoxon aufzuklären, sagt d'ALEMBERT, müsse
man beachten, daß die Ordinaten der Kurve für 3? > AU imaginär
werden, während der Ausdruck (2) einen reellen Wert behält.
,,Cela vient de ce que cette quantite n'exprime pas veritablement
et strictement l'arc de la courbe, eile exprime seulement l'integrale
j/da^-j-dß. Or quoyque d?/ soit imaginaire, cette quantite
peut etre reelle, tant que dß ne sera pas plus petit que darb Ainsi
l'integrale de da:]/ ß—ap) "3" ne doit pas etre une quantite en serie
indefinie, parce qu'elle ne devient pas imaginaire ni quand a? > AU
ni quand a: est negative."
Wenn diese Ausführungen auch der Ergänzung bedürfen,
so hat d'ALEMBERT doch mit der Erkenntnis, daß zwischen der geo-
metrisch erklärten Bogenlänge einer Kurve und dem analytischen
Ausdruck / j/daP + dß ein grundsätzlicher Unterschied besteht,
einen wesentlichen Beitrag zur Erledigung der hier vorliegenden
Schwierigkeiten geliefert.
Zwanzig Jahre später ist d'ALEMBERT auf den Gegenstand
zurückgekommen, in den Fa^aA? de ßn3ieMr3 ^e%7"e3 de faM^enr
3MT di//e7'e77^3 3M/'e^3, ec7Ae3 d%%3 ^e coM7'%72^ de dunTzee 77d/, Opus-
cules math., T. IV, Paris 1768, S. 65—68, ohne daß man sagen
könnte, daß er tiefer in die Frage eingedrungen wäre. Er begnügt
sich vielmehr damit, den alten Paradoxien neue hinzuzufügen,
die, wie er mit einer Lieblingswendung seiner späteren Jahre sagt,