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https://doi.org/10.11588/diglit.37410#0012
12 (A. 2)
Paul Stäckel:
Angriffe in Schutz genommen: ,,Injuria tarnen accusatur calculus."
Er bemüht sich zu beweisen, daß die der Differentialgleichung
(4) genügende Kurve aus den vier Zweigen AZ?, Z?U, Z?A', Z?C
bestehe und daß man, wenn der Bogen AZ? als positiv angesehen
wird, den Bogen Z?U notwendig negativ zu nehmen habe. Wie
SCHLESINGER^ mit Recht bemerkt hat, scheitern MvscHERONis
Beweisversuche an dem Umstand, ,,daß für Funktionen einer re-
alen Veränderlichen, selbst wenn sie analytisch, das heißt, nach
dem TAYLORschen Satz in konvergente Potenzreihen entwickel-
bar sind, kein in der Natur dieser Funktionen wurzelndes Prinzip
angegeben werden kann, nach dem sich entscheiden läßt, ob man
verschiedene eindeutige Funktionen zu einer mehrdeutigen Funk-
tion zusammenfassen oder zwei in benachbarten Intervallen
definierte Funktionen als Fortsetzungen von einander betrach-
ten soll. Man wird ja im letzteren Falle wohl für die Werte der
Funktion, vielleicht auch für die der ersten und höheren Derivier-
ten, wenn solche vorhanden sind, stetigen Anschluß fordern
können, es bleibt aber immer durchaus willkürlich, wie man ver-
fahren will". Auf die Frage der Fortsetzung im reellen Gebiete
wird im folgenden Paragraphen ausführlich eingegangen werden.
In dem Kreise der italienischen Mathematiker, dessen Mittel-
punkt MAscHERONi bildete, haben d'ALEMRERTs Paradoxien
Anlaß zu weiteren Erörterungen gegeben; man vergleiche hierüber
den Bericht von VivANTi im vierten Bande von M. CANTORS
Zer dZn^Aenza^A;, Leipzig 1908, S. 485.
VivANTi schließt mit den Worten: ,,Daß alle diese Deutungen
ungenügend sind, ist klar. Die hervorgehobenen Schwierigkeiten
konnten nicht überwunden werden, solange man den Begriff
des Veränderlichkeitsbereiches einer algebraischen Funktion nicht
vollständig beherrschte. Die Bogenlänge [der Astroide]
bildet eine auf der die Funktion y von % darstellenden RiEMANN-
schen Fläche reguläre Funktion; % = 1 ist ein Verzweigungspunkt
dieser Fläche, und an diesem Punkt kann der Übergang von einem
zu einem andern Funktionszweige sowohl von y als von ^ statt-
finden. Dadurch kann man sich von allen Unregelmäßigkeiten
Rechenschaft geben." So wertvoll indessen die Dienste sind,
Ae/idm??, ü^egraücme, wieder abgedruckt Opera 07%7Üa AeoaAardi AaZeri,
Ser. I, vol. 12, Leipzig 1914, S. 444—451.
4 SCHLESINGER, Forrede zum zweiten Teile der ca?cah
THegyahs, Opera C7%rha AeonAardi AaJeri, Ser. I, vol. 12, Leipzig 1914, S. X.
Paul Stäckel:
Angriffe in Schutz genommen: ,,Injuria tarnen accusatur calculus."
Er bemüht sich zu beweisen, daß die der Differentialgleichung
(4) genügende Kurve aus den vier Zweigen AZ?, Z?U, Z?A', Z?C
bestehe und daß man, wenn der Bogen AZ? als positiv angesehen
wird, den Bogen Z?U notwendig negativ zu nehmen habe. Wie
SCHLESINGER^ mit Recht bemerkt hat, scheitern MvscHERONis
Beweisversuche an dem Umstand, ,,daß für Funktionen einer re-
alen Veränderlichen, selbst wenn sie analytisch, das heißt, nach
dem TAYLORschen Satz in konvergente Potenzreihen entwickel-
bar sind, kein in der Natur dieser Funktionen wurzelndes Prinzip
angegeben werden kann, nach dem sich entscheiden läßt, ob man
verschiedene eindeutige Funktionen zu einer mehrdeutigen Funk-
tion zusammenfassen oder zwei in benachbarten Intervallen
definierte Funktionen als Fortsetzungen von einander betrach-
ten soll. Man wird ja im letzteren Falle wohl für die Werte der
Funktion, vielleicht auch für die der ersten und höheren Derivier-
ten, wenn solche vorhanden sind, stetigen Anschluß fordern
können, es bleibt aber immer durchaus willkürlich, wie man ver-
fahren will". Auf die Frage der Fortsetzung im reellen Gebiete
wird im folgenden Paragraphen ausführlich eingegangen werden.
In dem Kreise der italienischen Mathematiker, dessen Mittel-
punkt MAscHERONi bildete, haben d'ALEMRERTs Paradoxien
Anlaß zu weiteren Erörterungen gegeben; man vergleiche hierüber
den Bericht von VivANTi im vierten Bande von M. CANTORS
Zer dZn^Aenza^A;, Leipzig 1908, S. 485.
VivANTi schließt mit den Worten: ,,Daß alle diese Deutungen
ungenügend sind, ist klar. Die hervorgehobenen Schwierigkeiten
konnten nicht überwunden werden, solange man den Begriff
des Veränderlichkeitsbereiches einer algebraischen Funktion nicht
vollständig beherrschte. Die Bogenlänge [der Astroide]
bildet eine auf der die Funktion y von % darstellenden RiEMANN-
schen Fläche reguläre Funktion; % = 1 ist ein Verzweigungspunkt
dieser Fläche, und an diesem Punkt kann der Übergang von einem
zu einem andern Funktionszweige sowohl von y als von ^ statt-
finden. Dadurch kann man sich von allen Unregelmäßigkeiten
Rechenschaft geben." So wertvoll indessen die Dienste sind,
Ae/idm??, ü^egraücme, wieder abgedruckt Opera 07%7Üa AeoaAardi AaZeri,
Ser. I, vol. 12, Leipzig 1914, S. 444—451.
4 SCHLESINGER, Forrede zum zweiten Teile der ca?cah
THegyahs, Opera C7%rha AeonAardi AaJeri, Ser. I, vol. 12, Leipzig 1914, S. X.