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https://doi.org/10.11588/diglit.37410#0016
16 (A. 2)
Paul Stäckel:
Der Begriff der analytischen Kurve wird im nächsten Paragraphen
genauer erörtert werden; an dieser Stelle genügt es vorauszusetzen,
daß die Ordinate y in der Nähe des Kurvenpunktes A mit
den Koordinaten % = %, y = & durch eine nach ganzen, positiven
Potenzen von 2—% fortschreitende Reihe mit reellen Koeffizienten
dargestellt wird. Die Funktion des Ortes N^,y) soll nun erstens
die Eigenschaft haben, daß
(8) = 0
ist, und sie soll zweitens einer algebraischen Differentialgleichung
(9) efg,.;x,yj=0
genügen; hierbei bedeutet 0 ein Polynom in bezug auf die Ab-
leitung von A und eine solche analytische Funktion von 2 und y,
daß die Gleichung 0 = 0 durch eine gewöhnliche Potenzreihe
(10) N^,y) = Ci^3 ——...
mit reellen Koeffizienten befriedigt wird. Die genannte For-
derung ist zum Beispiel erfüllt, wenn 6Y%,y) einen der bekannten,
der Kurve zugeordneten Flächeninhalte oder die Bogenlänge
der Kurve bedeutet; der Punkt A ist dabei der Anfangspunkt der
Zählung.
Die Funktion ist zunächst nur für eine hinreichend
kleine Umgebung des Punktes A erklärt. Für ihre Fortsetzung
bieten sich zwei wesentlich verschiedene Möglichkeiten dar. Ent-
weder kann man die geometrische Erklärung von dp%,y^) zugrunde
legen und gewissermaßen die geometrische Fortsetzung dieser
Funktion bilden, oder man kann die Potenzreihe (10) benutzen
und das Verfahren der analytischen Fortsetzung zu Hilfe nehmen.
Es wird einer besonderen Untersuchung bedürfen, in welcher
Beziehung die durch die analytische Fortsetzung gewonnene
Funktion X(A,y^ zu der durch die geometrische Fortsetzung
gewonnenen Funktion N^,y^) steht; es kann sich ereignen und
es ereignet sich auch wirklich, daß die in der Umgehung des Punk-
tes A gültige Gleichung
(11) X fx,y) -
beim Wandern auf der Kurve ihre Gültigkeit verliert.
Es wird nützlich sein, die vorhergehenden allgemeinen Aus-
einandersetzungen an dem Beispiel der Bogenlänge einer analyti-
schen Kurve zu erläutern.
zu entsprechen als das umgekehrte, die alten Bezeichnungen für die neuen,
komplexen Gebilde zu verwenden und die alten, reellen Gebilde mit neuen
Namen zu versehen.
Paul Stäckel:
Der Begriff der analytischen Kurve wird im nächsten Paragraphen
genauer erörtert werden; an dieser Stelle genügt es vorauszusetzen,
daß die Ordinate y in der Nähe des Kurvenpunktes A mit
den Koordinaten % = %, y = & durch eine nach ganzen, positiven
Potenzen von 2—% fortschreitende Reihe mit reellen Koeffizienten
dargestellt wird. Die Funktion des Ortes N^,y) soll nun erstens
die Eigenschaft haben, daß
(8) = 0
ist, und sie soll zweitens einer algebraischen Differentialgleichung
(9) efg,.;x,yj=0
genügen; hierbei bedeutet 0 ein Polynom in bezug auf die Ab-
leitung von A und eine solche analytische Funktion von 2 und y,
daß die Gleichung 0 = 0 durch eine gewöhnliche Potenzreihe
(10) N^,y) = Ci^3 ——...
mit reellen Koeffizienten befriedigt wird. Die genannte For-
derung ist zum Beispiel erfüllt, wenn 6Y%,y) einen der bekannten,
der Kurve zugeordneten Flächeninhalte oder die Bogenlänge
der Kurve bedeutet; der Punkt A ist dabei der Anfangspunkt der
Zählung.
Die Funktion ist zunächst nur für eine hinreichend
kleine Umgebung des Punktes A erklärt. Für ihre Fortsetzung
bieten sich zwei wesentlich verschiedene Möglichkeiten dar. Ent-
weder kann man die geometrische Erklärung von dp%,y^) zugrunde
legen und gewissermaßen die geometrische Fortsetzung dieser
Funktion bilden, oder man kann die Potenzreihe (10) benutzen
und das Verfahren der analytischen Fortsetzung zu Hilfe nehmen.
Es wird einer besonderen Untersuchung bedürfen, in welcher
Beziehung die durch die analytische Fortsetzung gewonnene
Funktion X(A,y^ zu der durch die geometrische Fortsetzung
gewonnenen Funktion N^,y^) steht; es kann sich ereignen und
es ereignet sich auch wirklich, daß die in der Umgehung des Punk-
tes A gültige Gleichung
(11) X fx,y) -
beim Wandern auf der Kurve ihre Gültigkeit verliert.
Es wird nützlich sein, die vorhergehenden allgemeinen Aus-
einandersetzungen an dem Beispiel der Bogenlänge einer analyti-
schen Kurve zu erläutern.
zu entsprechen als das umgekehrte, die alten Bezeichnungen für die neuen,
komplexen Gebilde zu verwenden und die alten, reellen Gebilde mit neuen
Namen zu versehen.