Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

24 (A. 2)

Paul Stäckel:

fenden Punkte vom Zunehmen zum Abnehmen übergehen oder
umgekehrt.
Ais Beispiel möge wieder die reguläre Astroide
(18) 3^+?/^=l
dienen. Anfangspunkt der Zählung für die analytische Bogenlänge
sei der PunktA (Fig. 4, S. 11) mit den Koordinaten % = 0, y = -]-l.
Wenn ^ von 0 bis 1 wächst und gleichzeitig y von 1 bis 0 ab-
nimmt, so daß man zu dem Kurvenpunkt Z? mit den
Koordinaten ^r=l, y = 0 gelangt, so ist die analytische Bogen-
länge c von 0 auf A gegangen. Im Punkte Z? hat man die Dar-
stellung :
(19) y = ß, x-l = + ....
Hieraus ergibt sich
(20) A =- -3; + ....
Das Vorzeichen ist richtig gewählt, denn man weiß, daß die analy-
tische Bogenlänge zunimmt, wenn man sich auf dem Zweige Aß dem
Punkte Z? mit abnehmendem, positiven ^ nähert. Beim Über-
schreiten des Punktes Z? verschwindet A mit Zeichenwechsel,
folglich geht o vom Zunehmen zum Abnehmen über; in der Tat
ist o=A —Aß. Wenn man auf der Kurve vom Punkte Z? mit
abnehmendem ^ und abnehmendem y zum Punkte ß mit den
Koordinaten % = 0, y = —1 wandert, so geht o ebenfalls beständig
abnehmend von y bis 0. In ß erleidet o' abermals einen Vorzeichen-
wechsel, und bei dem Fortgang auf der Kurve von ß zum Punkte
D mit den Koordinaten % = —1, y = 0 wächst o von 0 auf A.
Geht man endlich von Z) nach A, so ist o zu dem alten Werte 0
zurückgekehrt.
Für die analytische Bogenlänge analytischer Schleifen erhält
man nunmehr folgende Sätze. Ist die Schleife regulär, so herrscht
beständig Übereinstimmung zwischen der geometrischen und der
analytischen Bogenlänge. Gehören aber zur Schleife Verzweigungs-
punkte, so kann die Übereinstimmung aufhören, und zwar tritt
das ein, sobald man, vom Anfangspunkte A ausgehend, einen
Verzweigungspunkt Z? überschreitet, bei dem die Entwicklung
von A nach Potenzen der zugehörigen Hilfsgröße ^ mit einer
ungeraden Potenz beginnt. Entsprechende Sätze gelten für ana-
lytische Runden.
Bei einer analytischen Runde gelangt man auch dann zu einer