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https://doi.org/10.11588/diglit.34895#0006
6 (A. 10)
PAUL SlÄCKEL:
Mittel ausgleichen. Die zweite Forderung soll hier dahin ausgelegt
werden, daß
(5) jd y(v): = ^
n=oo = m + 1 v = n—m + 1 /
ist, wenn die ganze Zahl zzz mit wachsendem zz so ins Unendliche
wächst, daß
(6) lim— = 0
wird, das heißt, daß die Länge nz des Intervalles, das man betrach-
tet, zwar immer größer wird, aber gegen die zugehörigen Werte von
Tz verschwindet^. Man genügt der Bedingung (6), indem man zum
Beispiel die ganze Zahl nz von der Ordnung -\/2% wählt.
Für die Funktion U(2z?) und die Näherungsfunktion
(7) y(2") - * - - TB (?) - M (p) - TU (r) ...
führt die Bedingung (5) zu einer Beziehung zwischen den Multi-
plikatoren und der numerischen Konstanten x, so daß der
Wert von x nach Festsetzung der Multiplikatoren durch die For-
derung des Fehlerausgleichs bereits vollständig bestimmt ist..
Um diese Beziehung herzuleiten, benutze ich eine von LANDAU^
in aller Strenge hergeleitete Formel, der ich eine für die folgen-
den Untersuchungen wichtige Deutung gebe. Bei den Festsetzun-
gen, die in § 1 getroffen wurden, gibt es genau 7^(2%) Primzahl-
paare 2, y, die dem Bereich der Zahlen von 1 bis 2zz angehören,
und unter ihnen liefern diejenigen, bei denen ;r + y<)2TZ ist, die
GoLDBACHsehen Darstellungen der geraden Zahlen von 2 bis 2%.
Weil nun die Dichtigkeit der Primzahlen mit wachsenden Werten
von 27z abnimmt, so darf man schließen, daß die summatorische
Funktion der GoLDBACH sehen Zahlen
i G(2v) > ^(2„)
V = 1
i Bei E. LANDAU, Über die zahlentheoretische Funktion <p(^) und ihre
Beziehung zum GoLDBACHSchen Satz, Göttinger Nachrichten, Math.-phys.
Klasse, 1900, S. 185 wird die Forderung des Fehlerausgleichs so verstanden,
daß der Quotient der summatorischen Funktionen von g(n) und yU) für
n = oo dem Grenzwerte Eins zustreben soll; hiernach wäre in der Formel (5)
7??. = 7!. zu setzen.
s E. LANDAU, a. a. O., S. 180.
PAUL SlÄCKEL:
Mittel ausgleichen. Die zweite Forderung soll hier dahin ausgelegt
werden, daß
(5) jd y(v): = ^
n=oo = m + 1 v = n—m + 1 /
ist, wenn die ganze Zahl zzz mit wachsendem zz so ins Unendliche
wächst, daß
(6) lim— = 0
wird, das heißt, daß die Länge nz des Intervalles, das man betrach-
tet, zwar immer größer wird, aber gegen die zugehörigen Werte von
Tz verschwindet^. Man genügt der Bedingung (6), indem man zum
Beispiel die ganze Zahl nz von der Ordnung -\/2% wählt.
Für die Funktion U(2z?) und die Näherungsfunktion
(7) y(2") - * - - TB (?) - M (p) - TU (r) ...
führt die Bedingung (5) zu einer Beziehung zwischen den Multi-
plikatoren und der numerischen Konstanten x, so daß der
Wert von x nach Festsetzung der Multiplikatoren durch die For-
derung des Fehlerausgleichs bereits vollständig bestimmt ist..
Um diese Beziehung herzuleiten, benutze ich eine von LANDAU^
in aller Strenge hergeleitete Formel, der ich eine für die folgen-
den Untersuchungen wichtige Deutung gebe. Bei den Festsetzun-
gen, die in § 1 getroffen wurden, gibt es genau 7^(2%) Primzahl-
paare 2, y, die dem Bereich der Zahlen von 1 bis 2zz angehören,
und unter ihnen liefern diejenigen, bei denen ;r + y<)2TZ ist, die
GoLDBACHsehen Darstellungen der geraden Zahlen von 2 bis 2%.
Weil nun die Dichtigkeit der Primzahlen mit wachsenden Werten
von 27z abnimmt, so darf man schließen, daß die summatorische
Funktion der GoLDBACH sehen Zahlen
i G(2v) > ^(2„)
V = 1
i Bei E. LANDAU, Über die zahlentheoretische Funktion <p(^) und ihre
Beziehung zum GoLDBACHSchen Satz, Göttinger Nachrichten, Math.-phys.
Klasse, 1900, S. 185 wird die Forderung des Fehlerausgleichs so verstanden,
daß der Quotient der summatorischen Funktionen von g(n) und yU) für
n = oo dem Grenzwerte Eins zustreben soll; hiernach wäre in der Formel (5)
7??. = 7!. zu setzen.
s E. LANDAU, a. a. O., S. 180.