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https://doi.org/10.11588/diglit.34895#0022
22 (A.10)
PAUL SlÄCKEL:
§ 7
Die GouDHACH sehen Zahlen nnd die Anzahlen der Paare von
Primzahlen, die sich nm zwei unterscheiden
V. BRUN hat nicht nur, das Sieb des ERATOSTHENES verallge-
meinernd, die Multiplikatoren = ^ angegeben, son-
dern ist auch, auf diesem Wege weitergehend, zu wichtigen Auf-
schlüssen über die Wachstumsfunktion gelangt. Wie BRUN selbst
hervorhebt, sind die Überlegungen, die er anstellt, keine strengen
Beweise, sondern besitzen nur einen heuristischen Wert. Auf ihre
Wiedergabe an dieser Stelle kann daher verzichtet werden, und es
wird sich nur darum handeln, BRUNS Vermutungen mit den vorher-
gehenden Betrachtungen in Zusammenhang zu bringen.
Die Untersuchungen von mir und LANDAU hatten zu dem
Ansatz
(3)
W(2ü)
2/z
2n
log^2/z
geführt. BRUN kommt von ganz anderer Seite her zu demselben
Ausdruck, der dadurch eine willkommene Bestätigung erfährt. Die
numerische Konstante x bleibt bei ihm zunächst noch unbestimmt.
Um ihren Wert zu ermitteln, bringt er in bemerkenswerter Weise
die GoLDBAcnschen Zahlen in Zusammenhang mit den An-
zahlen der Paare von Primzahlen, die sich um zwei unter-
scheiden. BRUN nennt solche Paare von Primzahlen einfach
Primzahlpaare. Dieses Wort wird jedoch zu oft in anderer Bedeu-
tung gebraucht — handelt es sich doch beim GoLDBAcnschen
Satze selbst auch um gewisse Primzahlpaare —, als daß es jenem
besonderen Zweck dienen könnte, und ich werde daher Paare von
Primzahlen, die sich um zwei unterscheiden, Primzahlzwillinge
nennen.
Auch die Primzahlzwillinge lassen sich nach BRUN aussiebeM,
wenn man nämlich beim Sieben des Bereiches der ganzen Zahlen
von 0 bis 2% als Ausgangszahlen die Stellen —1 und +1 wählt.
Man erhält auf diese Art die zwischen i/2% und 2% liegenden Prim-
zahlzwillinge, deren Anzahl der Anzahl Z(2%) aller zwischen 0
und 2/z liegenden Primzahlzwillinge asymptotisch gleich ist.
i Dasselbe hatte schon MERLIN bemerkt, a. a. O., S. 132, ohne jedoch
auf eine Beziehung zum GoLDBAcnschen Satze zu schließen.
PAUL SlÄCKEL:
§ 7
Die GouDHACH sehen Zahlen nnd die Anzahlen der Paare von
Primzahlen, die sich nm zwei unterscheiden
V. BRUN hat nicht nur, das Sieb des ERATOSTHENES verallge-
meinernd, die Multiplikatoren = ^ angegeben, son-
dern ist auch, auf diesem Wege weitergehend, zu wichtigen Auf-
schlüssen über die Wachstumsfunktion gelangt. Wie BRUN selbst
hervorhebt, sind die Überlegungen, die er anstellt, keine strengen
Beweise, sondern besitzen nur einen heuristischen Wert. Auf ihre
Wiedergabe an dieser Stelle kann daher verzichtet werden, und es
wird sich nur darum handeln, BRUNS Vermutungen mit den vorher-
gehenden Betrachtungen in Zusammenhang zu bringen.
Die Untersuchungen von mir und LANDAU hatten zu dem
Ansatz
(3)
W(2ü)
2/z
2n
log^2/z
geführt. BRUN kommt von ganz anderer Seite her zu demselben
Ausdruck, der dadurch eine willkommene Bestätigung erfährt. Die
numerische Konstante x bleibt bei ihm zunächst noch unbestimmt.
Um ihren Wert zu ermitteln, bringt er in bemerkenswerter Weise
die GoLDBAcnschen Zahlen in Zusammenhang mit den An-
zahlen der Paare von Primzahlen, die sich um zwei unter-
scheiden. BRUN nennt solche Paare von Primzahlen einfach
Primzahlpaare. Dieses Wort wird jedoch zu oft in anderer Bedeu-
tung gebraucht — handelt es sich doch beim GoLDBAcnschen
Satze selbst auch um gewisse Primzahlpaare —, als daß es jenem
besonderen Zweck dienen könnte, und ich werde daher Paare von
Primzahlen, die sich um zwei unterscheiden, Primzahlzwillinge
nennen.
Auch die Primzahlzwillinge lassen sich nach BRUN aussiebeM,
wenn man nämlich beim Sieben des Bereiches der ganzen Zahlen
von 0 bis 2% als Ausgangszahlen die Stellen —1 und +1 wählt.
Man erhält auf diese Art die zwischen i/2% und 2% liegenden Prim-
zahlzwillinge, deren Anzahl der Anzahl Z(2%) aller zwischen 0
und 2/z liegenden Primzahlzwillinge asymptotisch gleich ist.
i Dasselbe hatte schon MERLIN bemerkt, a. a. O., S. 132, ohne jedoch
auf eine Beziehung zum GoLDBAcnschen Satze zu schließen.