Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

26 (A. 10)

PAUL SlÄCKEL:

Aus den Identitäten*

(35)

44 = AU'
\(p) /

(p = l,3,5,7,ll,13,...)

und

oo
(36) X^ = E(A2X)-P(2x-2))^-'

(P) X = 1

= (1-^) ^ P(2x) 4^*'

A = 1

folgt sogleich

r, co / n \
?P) = (l^f.^ Ap(2n+2-2,,)P(2^)
n=l\g=l /

n=l ((i-l


hierin ist P(0) = 0, P(—2) = 0 zu setzen. Mithin gilt die Formel

(37) U(2^) = ^ (P(2v+2)-2P(2v)+P(2v-2))P(2?i-2v),

durch die U(2n,) vermöge P(0), P(2), P(4), P(6), ..., P(2n) dar-
gestellt wird.
Um U(2/z) aus der Formel (37) zu berechnen, empfiehlt es sich,
wie HAUSSNER bemerkt hat, zunächst aus P(0), P(2), P(4),..., P(2?r)
die zahlentheoretische Funktion

(38)

$(2p) = P(2v+2)-2P(2v) + P(2v-2)

i Die Identität (36) ist ein besonderer Fall einer Identität, die immer
gilt, wenn aus einer arithmetischen Reihe

(v = 0,l,2, 3, ...)

uv + &

eine Folge ausgezeichneter Zahlen ausgesondert wird. Bezeichnet man
nämlich die Anzahl der ausgezeichneten Zahlen des Bereichs v = 0, l,2,...,u
mit A(n), so ist die über alle ausgezeichneten Werte M erstreckte Summe

^ xA = (1-2^) A(u)x;^^^

Bei der Anwendung auf die Reihe Ex;^ hat man zu beachten, daß P(2X)
= R(2X-1) ist.