Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

28 (A.10)

PAUL SlÄCKEL:

(37') &a 7?ez7rug 7 oder f? giG, /e aacA&a?, ^fe efae UoBOBAcrr^cAe
Dar.^e/fazzg der geradem ZaA? 2a /z'e/er^ oder afcAü
Gehört zweitens 2v—l = p zu einem Primzahlzwilling, so
möge auch 2v + l = p+2 eine Primzahl sein. Wenn man von den
Zahlen 1,3,5, 7 ahsieht, die eine besondere Behandlung erfordern,
so sind in diesem Falle die Zahlen 2v—3=p—2 und 2v+3 = p+4
zusammengesetzt, und es geben daher die Werte des Zeigers v—1,
v, v+1 zur Summe (37') den Beitrag
P(2a-2v+2)-P(2a-2^-2) .
Dieser ist gleich Null, wenn die beiden Zahlen 2a—2v+l und
2a—2v—1 zusammengesetzt sind, gleich +1, wenn eine davon Prim-
zahl ist, gleich +2, wenn beide Primzahlen sind. Hierin liegt
wiederum, daß eia PrbazaAUuaLüag p, p + 2 zar Aaazaze &a A?eürag
2, 7,1? gfG, /e aacAdenz er zwef, efae oder Aeiae UoLDBACH^cAe Dar-
^e//aag der geraden, ZaAZ 2a h'e/erA Ist der Beitrag 1, so bedarf
es noch der Untersuchung, zu welcher der beiden Primzahlen p
und p+2 die GoLDBACHsche Darstellung gehört.
Handelt es sich endlich um die Zahlen 1,3, 5, 7, so zeigen die
Gleichungen (39), daß die Werte des Zeigers v=0,1, 2,3, 4 zur
Summe (37') den Beitrag
P(2a) -P(2a-8)
geben, dies ist aber die Anzahl der Primzahlen unter den Zahlen
2a—1, 2a—3, 2a—5, 2%—7. Hieraus folgt, da/? die AWazzaA/ea 7, 3, <5, 7
zar Aaazzae den Z?ePrag 3, 2, 7, t? ge&ea, /e aacAdenz .Ge 3, 2, 7, f?
GonDBACH-ycAe Dar^^eHaagea der geradem ZaA/ 2a Ue/era. Ist der
Beitrag 3, 2, 1, so bedarf es noch der Untersuchung, zu welcher
der Primzahlen 1,3,5,7 die GoLDBACHschen Darstellungen gehören.
Hiermit ist der angekündigte rein arithmetische Beweis der
Formel (37) erbracht. Gleichzeitig erkennt man, daß die wirkliche
Ausrechnung der Summe nicht nur den Wert von U(2a) finden
läßt, sondern auch zu den GoLDBAcnsehen Darstellungen der geraden
Zahl 2a führt. Diese ergeben sich nämlich unmittelbar für die
vereinzelten Primzahlen, dagegen ist bei den Primzahlzwillingen zu
unterscheiden, ob beide Primzahlen eine Darstellung liefern, oder
ob dies nur für die eine von ihnen gilt; in diesem Fall bedarf es
noch einer Untersuchung, welche von beiden die Darstellung liefert.