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https://doi.org/10.11588/diglit.34897#0007
Über die HAMiLTONSchen Differentialgleichungen der Dynamik. I. (A. 12) 7
rentialgleichungssystem n^ Ordnung in ein solches n—Ordnung
transformieren lassen, welches wiederum die Elemente 7^,7)2,---'Im
des vollständigen Integralsystems 7]i,7]2, ...*^_i mit hem Differen-
tialgleichungssystem (3) gemein hat, oder es werden die Gleichun-
gen (4) von 7)„ unabhängig sein. Im ersteren Falle werden sich
wiederum den Gleichungen (4) analoge algebraische Beziehungen
ergeben, mittels derer wieder eine Reduktion auf ein Differential-
gleichungssystem n—2^ Ordnung möglich ist, oder die algebra-
ischen Beziehungen werden auch von 7]i,_i unabhängig sein; schließt
man so weiter, so gelangt man jedenfalls zu einem Differential-
gleichungssystem m^ Ordnung und k^" Grades
(5) y^ - hl (u, X, yi,... Vm), ... y!n = h,„ (u, x, Vi,... y^) ,
worin ln, ... h^ ganze Funktionen k—1^° Grades in u mit in
x,yi,-..y,n rationalen Koeffizienten sind, und u die Lösung einer
mit Adjungierung eben dieser Größen irreduktibeln algebraischen
Gleichung k*^ Grades ist, und welches das vollständige Integral-
system Thy/jg, ...TA mit dem vollständigen Integralsystem von (3)
gemein hat. Da sich aber dann aus (1) und (3) die Beziehungen
ergeben
(6) gl (v, . . . X, 7]1, . . . -^) = hi(ü, X, 7^1, . . . .
gm(x, - - - X, 7)1, . . . -^) - h^(ü, xy/ji, . . . 7]n,) ,
so würde, wenn diese nicht identisch wären, eine Reduktion des
Systems (3) auf ein Differentialgleichungssystem von niederer Ord-
nung als der m^ möglich, und somit die Identität der Glei-
chungen (6) in 7h,7]2,notwendig sein, wenn wir das Differen-
tialgleichungssystem m^ Ordnung (3) der Bedingung unterwerfen,
daß von dem Integralsystem 7)1,7)2, ...7^ nicht ein Teilsystem das
vollständige Integralsystem eines Differentialgleichungssystems von
niederer Ordnung als der m^ sein soll, oder — was nach den obi-
gen Auseinandersetzungen dasselbe ist — zwischen den m-Elemen-
ten 7)i,7]2,...Tjm keine algebraische Beziehung existieren soll. Aus
der Identität der Gleichungen
gi (x, x, y^ y-2,... y„) = Gi(w, x, y^ yg,... y^),...
gm(Y, x, y^ yg,... yj = G^(w, x, y^ yg,... y^)
rentialgleichungssystem n^ Ordnung in ein solches n—Ordnung
transformieren lassen, welches wiederum die Elemente 7^,7)2,---'Im
des vollständigen Integralsystems 7]i,7]2, ...*^_i mit hem Differen-
tialgleichungssystem (3) gemein hat, oder es werden die Gleichun-
gen (4) von 7)„ unabhängig sein. Im ersteren Falle werden sich
wiederum den Gleichungen (4) analoge algebraische Beziehungen
ergeben, mittels derer wieder eine Reduktion auf ein Differential-
gleichungssystem n—2^ Ordnung möglich ist, oder die algebra-
ischen Beziehungen werden auch von 7]i,_i unabhängig sein; schließt
man so weiter, so gelangt man jedenfalls zu einem Differential-
gleichungssystem m^ Ordnung und k^" Grades
(5) y^ - hl (u, X, yi,... Vm), ... y!n = h,„ (u, x, Vi,... y^) ,
worin ln, ... h^ ganze Funktionen k—1^° Grades in u mit in
x,yi,-..y,n rationalen Koeffizienten sind, und u die Lösung einer
mit Adjungierung eben dieser Größen irreduktibeln algebraischen
Gleichung k*^ Grades ist, und welches das vollständige Integral-
system Thy/jg, ...TA mit dem vollständigen Integralsystem von (3)
gemein hat. Da sich aber dann aus (1) und (3) die Beziehungen
ergeben
(6) gl (v, . . . X, 7]1, . . . -^) = hi(ü, X, 7^1, . . . .
gm(x, - - - X, 7)1, . . . -^) - h^(ü, xy/ji, . . . 7]n,) ,
so würde, wenn diese nicht identisch wären, eine Reduktion des
Systems (3) auf ein Differentialgleichungssystem von niederer Ord-
nung als der m^ möglich, und somit die Identität der Glei-
chungen (6) in 7h,7]2,notwendig sein, wenn wir das Differen-
tialgleichungssystem m^ Ordnung (3) der Bedingung unterwerfen,
daß von dem Integralsystem 7)1,7)2, ...7^ nicht ein Teilsystem das
vollständige Integralsystem eines Differentialgleichungssystems von
niederer Ordnung als der m^ sein soll, oder — was nach den obi-
gen Auseinandersetzungen dasselbe ist — zwischen den m-Elemen-
ten 7)i,7]2,...Tjm keine algebraische Beziehung existieren soll. Aus
der Identität der Gleichungen
gi (x, x, y^ y-2,... y„) = Gi(w, x, y^ yg,... y^),...
gm(Y, x, y^ yg,... yj = G^(w, x, y^ yg,... y^)