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https://doi.org/10.11588/diglit.34889#0007
Herleitung eines Kettenbruchs.
(A.4) 7
berechnet und
(19.)
setzt.
"7+1 -
i
T
1 + ^t+2
(i>i)
Die Rekursionsformel (18.) ist unbequem. Eine bessere ergibt
sich, wenn man die Formel (16.) in folgender Gestalt schreibt:
/D(^) + Fj(F) ^ 1 + 7^+1 (y+1) (z/+r^) (y-r;+J
^'(l+G)
Hieraus folgt nämlich, da ^(^) linear in a:(=z/^—l) ist und für
a? = 0, also y2 = l den Wert 2 hat:
^
-G.+1
1-
;,+i
l/hp) + r,(x) -
(1 + r^) (1-G+^)
Da aber z/^ in ]/D(^) nach (15.) den Koeffizienten % hat und in
P;(^r) offenbar nicht vorkommt, so folgt aus der letzten Formel:
1
(l + G)(l-G+i)
oder nach leichter Umformung:
(20.)
1
G+i
1
1+ —
G
1 —a
1-
ar^
Die explizite Darstellung der Zahlen gestaltet sich verschieden,
je nachdem u = l oder u=tl ist. Sei zunächst u = l; dann geht
Formel (20.) über in:
1 1
1+—,
G.
/+i
(A.4) 7
berechnet und
(19.)
setzt.
"7+1 -
i
T
1 + ^t+2
(i>i)
Die Rekursionsformel (18.) ist unbequem. Eine bessere ergibt
sich, wenn man die Formel (16.) in folgender Gestalt schreibt:
/D(^) + Fj(F) ^ 1 + 7^+1 (y+1) (z/+r^) (y-r;+J
^'(l+G)
Hieraus folgt nämlich, da ^(^) linear in a:(=z/^—l) ist und für
a? = 0, also y2 = l den Wert 2 hat:
^
-G.+1
1-
;,+i
l/hp) + r,(x) -
(1 + r^) (1-G+^)
Da aber z/^ in ]/D(^) nach (15.) den Koeffizienten % hat und in
P;(^r) offenbar nicht vorkommt, so folgt aus der letzten Formel:
1
(l + G)(l-G+i)
oder nach leichter Umformung:
(20.)
1
G+i
1
1+ —
G
1 —a
1-
ar^
Die explizite Darstellung der Zahlen gestaltet sich verschieden,
je nachdem u = l oder u=tl ist. Sei zunächst u = l; dann geht
Formel (20.) über in:
1 1
1+—,
G.
/+i