Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine von GAUSS gestellte Aufgabe des Minimums. (A. 11) 9

allgemein gesprochen, der Ausgangspunkt innerhalb gewisser
Gebiete der Begrenzung von A^ beliebig gewählt werden darf,
daß aber, wenn man aus einem solchen Gebiet heraustritt, das
Verfahren zu einer anderen Stelle des Minimums führt.

§3
Die Kurven schnellster Abnahme

Von dem Ausgangspunkt A, der irgendwo auf der Begrenzung
von gewählt sei, soll man nach der Vorschrift so weitergehen,
daß die Funktion /(^,...,^) möglichst schnell abnimmt. Es ist
am einfachsten, den Punkt A(^, ...,^) in das Innere irgend einer
der nr Grenzflächen zu legen, sodaß seine Umgebung durch die
eine Gleichung <p = 0 bestimmt wird. Für die Umgebung von A
werden die Punkte A'(^+d^,...,^+d^) durch die Gleichung


= 0

(4)

bestimmt. Wird die Gleichung


(5)

hinzugenommen, so erhält man ein (77,—2)-fach ausgedehntes
Element der Schnittmannigfaltigkeit <p=0, /=const., das durch den
Punkt A' hindurchgeht. Von den % Differentialen ...,d^
bleiben dabei 72—2 willkürlich, während die übrigen zwei durch
die Gleichungen (4) und (5) bestimmt sind.
Damit beim Fortgang von A zu einem benachbarten Punkte
F(%i+§3*i,die gegebene Abnahme der Funktion
möglichst schnell erfolgt, wie es das Verfahren
von GAuss fordert, muß man auf der Grenzfläche <p = 0 vom
Punkt A zu einem solchen Punkt 2? des Elementes der Schnitt-
mannigfaltigkeit übergehen, daß AB ein Minimum ist. Das zieht
aber nach sich, daß AF senkrecht auf dem Elemente steht.
Folglich muß erstens