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https://doi.org/10.11588/diglit.36396#0015
Eine von GAUss gestellte Aufgabe des Minimums. (A. 11) 15
und P" auch ihre Verbindungsstrecke P' P" dem Gebiete der
Punkte angehört, für das die vorgelegten Ungleichheiten erfüllt sind.
Hieraus folgt, daß die betrachteten Punkte ein zusam-
menhängendes Gebiet bilden. Das Gebiet braucht aber nicht
77-fach ausgedehnt zu sein, es kann auch weniger als 7?- Dimensionen
haben. Wenn das der Fall ist, kann man die Untersuchung von
vornherein auf einen Euklidischen Raum von weniger als 77 Dimen-
sionen beschränken. Es gilt nämlich der Satz:
Ist in einem Euklidischen Raum von /^Dimensionen
ein (%—r)-fach ausgedehntes Gebiet gegeben, das durch
/c lineare Ungleichheiten in 7? Veränderlichen ausge-
schieden wird, so läßt es sich auch durch lineare Un-
gleichheiten in 77—7" Veränderlichen erklären.
Weil das Gebiet nur 77—r Dimensionen hat, liegt es zunächst
in einem Euklidischen Raum von 77—r Dimensionen, und seine
Grenzflächen werden durch lineare Gleichungen in 77- r Veränder-
lichen, ^=0, gegeben. Macht man jetzt den Ansatz:
(21) ^^>0,
so können die Konstanten ^=+1 so bestimmt werden, daß durch
diese Ungleichheiten genau das gegebene Gebiet erklärt wird.
Die Vorzeichen ergeben sich, wenn man von irgend einem
Punkte der betreffenden Grenzfläche ^=0 ins Innere des Gebietes
geht. Es bleibt demnach nur noch übrig zu zeigen, daß nicht
etwa verschiedene Punkte einer Grenzfläche zu verschiedenen Vor-
zeichen führen. Wäre das aber der Fall, so würden auf beiden
Seiten der Grenzfläche Punkte des Gebietes liegen, und das ist
mit der Eigenschaft, daß die Verbindungsstrecke von je zwei
Punkten des Gebietes diesem ganz angehört, nicht verträglich.
Aus dem Vorstehenden folgt, daß es ausreicht, den Fall zu
untersuchen, wo das Gebiet der Punkte, die den Ungleichheiten
^>0 genügen, eine Mannigfaltigkeit von 77 Dimensionen bildet;
sie möge wieder mit bezeichnet werden.
§6
Das Beispiel von (Guss: b) Nachweis der Existenz des Minimums.
Die Funktion -ist stetig, und es gibt daher im
Gebiete mindestens einen Punkt, wo sie gleich ihrer unteren
und P" auch ihre Verbindungsstrecke P' P" dem Gebiete der
Punkte angehört, für das die vorgelegten Ungleichheiten erfüllt sind.
Hieraus folgt, daß die betrachteten Punkte ein zusam-
menhängendes Gebiet bilden. Das Gebiet braucht aber nicht
77-fach ausgedehnt zu sein, es kann auch weniger als 7?- Dimensionen
haben. Wenn das der Fall ist, kann man die Untersuchung von
vornherein auf einen Euklidischen Raum von weniger als 77 Dimen-
sionen beschränken. Es gilt nämlich der Satz:
Ist in einem Euklidischen Raum von /^Dimensionen
ein (%—r)-fach ausgedehntes Gebiet gegeben, das durch
/c lineare Ungleichheiten in 7? Veränderlichen ausge-
schieden wird, so läßt es sich auch durch lineare Un-
gleichheiten in 77—7" Veränderlichen erklären.
Weil das Gebiet nur 77—r Dimensionen hat, liegt es zunächst
in einem Euklidischen Raum von 77—r Dimensionen, und seine
Grenzflächen werden durch lineare Gleichungen in 77- r Veränder-
lichen, ^=0, gegeben. Macht man jetzt den Ansatz:
(21) ^^>0,
so können die Konstanten ^=+1 so bestimmt werden, daß durch
diese Ungleichheiten genau das gegebene Gebiet erklärt wird.
Die Vorzeichen ergeben sich, wenn man von irgend einem
Punkte der betreffenden Grenzfläche ^=0 ins Innere des Gebietes
geht. Es bleibt demnach nur noch übrig zu zeigen, daß nicht
etwa verschiedene Punkte einer Grenzfläche zu verschiedenen Vor-
zeichen führen. Wäre das aber der Fall, so würden auf beiden
Seiten der Grenzfläche Punkte des Gebietes liegen, und das ist
mit der Eigenschaft, daß die Verbindungsstrecke von je zwei
Punkten des Gebietes diesem ganz angehört, nicht verträglich.
Aus dem Vorstehenden folgt, daß es ausreicht, den Fall zu
untersuchen, wo das Gebiet der Punkte, die den Ungleichheiten
^>0 genügen, eine Mannigfaltigkeit von 77 Dimensionen bildet;
sie möge wieder mit bezeichnet werden.
§6
Das Beispiel von (Guss: b) Nachweis der Existenz des Minimums.
Die Funktion -ist stetig, und es gibt daher im
Gebiete mindestens einen Punkt, wo sie gleich ihrer unteren