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https://doi.org/10.11588/diglit.36396#0016
16 (A.ll)
PAUL STÄCKEL:
Schranke für das Gebiet wird. Hieraus folgt noch nicht die
Existenz einer Stelle des Minimums, diese wird jedoch in dem
vorliegenden Fall dadurch gesichert, daß es nur einen Punkt des
Gebietes geben kann, in dem die Funktion gleich ihrer unteren
Schranke wird. Hätte man nämlich zwei solche Punkte, P' und
P", und wanderte auf der Verbindungsstrecke P' P" von P'
in der Richtung nach P", so müßte die Funktion, da sie nicht
denselben Wert behalten kann, wachsen, und dasselbe würde
gelten, wenn man auf der Strecke von P" nach P' wanderte.
Mithin müßte es auf ihr einen Punkt geben, in dem die Funktion
ein Maximum für die Punkte der Strecke aufweist, während doch
beim Durchlaufen einer Strecke die Entfernung von einem festen
Punkte niemals ein Maximum besitzt. Auf dieselbe Art erkennt
man auch, daß es außer der Stelle des absoluten keine Stellen des
relativen Minimums geben kann.
Es läßt sich ferner beweisen, daß das Verfahren von GAUss
in dem vorliegenden Fall nach einer endlichen Anzahl von
Schritten zur Stelle des Minimums führt.
Man kann von vornherein erreichen, daß die ganze Betrach-
tung sich im Endlichen abspielt. Wenn nämlich das Gebiet
sich ins Unendliche erstreckt, so braucht man nur einen Punkt P
des Gebietes zu nehmen und durch ihn die (7?—l)-fach ausge-
dehnte Ebene zu legen, die auf DP senkrecht steht, bei der also
alle Punkte von G mindestens die Entfernung GP haben. Ist
Vn+i = 0 die geeignet normierte Gleichung dieser Ebene, so wird
durch die Pingleichheit 0 ein ins Unendliche gehendes Stück
von abgesondert, und es bleibt ein endliches Gebiet mit der-
selben Stelle des Minimums übrig.
Der Ausgangspunkt A liege im Innern einer Grenzfläche G.
Die Kurve schnellster Abnahme, auf der man von A aus fort-
zugehen hat, ist die Gerade, die A mit dem Fußpunkt P des von
G auf G gefällten Lotes verbindet.
Liegt der Fuß punkt P im Innern von G, so gibt er bereits
die Stelle des Minimums, und das Verfahren ist beendet.
Liegt P auf der Begrenzung von G, so kann er das Minimum
liefern. Tut er es nicht, so muß man eine neue Grenzfläche G'
betreten und kommt nie wieder auf G zurück. Denn die
Funktion / nimmt beim Fortgehen beständig ab, bleibt also stets
PAUL STÄCKEL:
Schranke für das Gebiet wird. Hieraus folgt noch nicht die
Existenz einer Stelle des Minimums, diese wird jedoch in dem
vorliegenden Fall dadurch gesichert, daß es nur einen Punkt des
Gebietes geben kann, in dem die Funktion gleich ihrer unteren
Schranke wird. Hätte man nämlich zwei solche Punkte, P' und
P", und wanderte auf der Verbindungsstrecke P' P" von P'
in der Richtung nach P", so müßte die Funktion, da sie nicht
denselben Wert behalten kann, wachsen, und dasselbe würde
gelten, wenn man auf der Strecke von P" nach P' wanderte.
Mithin müßte es auf ihr einen Punkt geben, in dem die Funktion
ein Maximum für die Punkte der Strecke aufweist, während doch
beim Durchlaufen einer Strecke die Entfernung von einem festen
Punkte niemals ein Maximum besitzt. Auf dieselbe Art erkennt
man auch, daß es außer der Stelle des absoluten keine Stellen des
relativen Minimums geben kann.
Es läßt sich ferner beweisen, daß das Verfahren von GAUss
in dem vorliegenden Fall nach einer endlichen Anzahl von
Schritten zur Stelle des Minimums führt.
Man kann von vornherein erreichen, daß die ganze Betrach-
tung sich im Endlichen abspielt. Wenn nämlich das Gebiet
sich ins Unendliche erstreckt, so braucht man nur einen Punkt P
des Gebietes zu nehmen und durch ihn die (7?—l)-fach ausge-
dehnte Ebene zu legen, die auf DP senkrecht steht, bei der also
alle Punkte von G mindestens die Entfernung GP haben. Ist
Vn+i = 0 die geeignet normierte Gleichung dieser Ebene, so wird
durch die Pingleichheit 0 ein ins Unendliche gehendes Stück
von abgesondert, und es bleibt ein endliches Gebiet mit der-
selben Stelle des Minimums übrig.
Der Ausgangspunkt A liege im Innern einer Grenzfläche G.
Die Kurve schnellster Abnahme, auf der man von A aus fort-
zugehen hat, ist die Gerade, die A mit dem Fußpunkt P des von
G auf G gefällten Lotes verbindet.
Liegt der Fuß punkt P im Innern von G, so gibt er bereits
die Stelle des Minimums, und das Verfahren ist beendet.
Liegt P auf der Begrenzung von G, so kann er das Minimum
liefern. Tut er es nicht, so muß man eine neue Grenzfläche G'
betreten und kommt nie wieder auf G zurück. Denn die
Funktion / nimmt beim Fortgehen beständig ab, bleibt also stets