Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine von GAUss gesteiite Aufgabe des Minimums. (A. 11) 17

unter dem Wert, den sie in E annimmt, und dieses ist der kleinste
Wert, dessen sie auf der Grenzfläche G fähig ist.
Liegt endlich der Fußpunkt E außerhalb G, so hat man an
der Begrenzung von G angelangt zu ermitteln, ob man auf dieser
weitergehen oder in die anstoßende Grenzfläche übertreten soll.
Jetzt ist es sehr wohl möglich, daß man im Laufe des Verfahrens
in die Grenzfläche G zurückkehrt, jedoch gilt für die Wege auf G
folgende Überlegung. Wenn der Fußpunkt des Lotes von G auf
die Ebene von G außerhalb G liegt, so bilde man den Grenzwert
des Quotienten der Änderung von /(a^,...,:r„) und der dabei auf
irgend einer Geraden schnellster Abnahme von G durchlaufenen
Strecke. Diese Grenzwerte haben jetzt eine von Null verschiedene
untere Schranke n, und daher beträgt, wenn man auf G den Weg $
durchläuft, die Änderung von /(^,...,^) mindestens u-y.
Nach diesen Vorbereitungen betrachte man erstens diejenigen
Grenzflächen G, bei denen der Fußpunkt des Lotes von G auf G
außerhalb G liegt. Die betreffenden unteren Schranken u haben
ihrerseits eine untere Schranke zj. Wird daher der Ausgangswert
von / mit ü, der kleinste Wert von / mit Ai bezeichnet, so muß
die Summe der Wege, die man auf diesen Grenzflächen durchwan-
dert, kleiner sein als (ü—A:):zc Folglich kann man in eine solche
Grenzfläche nur eine endliche Anzahl von Malen gelangen, und
diese liefert daher nur eine endliche Anzahl von Stücken des Weges,
der zu dem Anfangspunkt A gehört.
Zweitens kann eine Grenzfläche, auf deren Begrenzung der
Fuß punkt des Lotes liegt, nur einma) an die Reihe kommen, aus
ihr entspringt demnach nur ein Stück des Weges, der zu dem
Anfangspunkt A gehört.
Dieselben Betrachtungen wiederholen sich, wenn man in eine
der Grenzmannigfaltigkeiten der Dimension n—2 gerät, und so
geht es weiter. Es gibt in der Begrenzung von nur eine endliche
Anzahl solcher Grenzmannigfaltigkeiten, denen der Reihe nach
die Dimensionen n—2, 77—3,...,2,1 zukommen, und jede liefert nur
eine endliche Anzahl endlicher Strecken, die dem von A aus
durchwanderten Wege angehören. Hieraus folgt schließlich, daß
die Stelle des Minimums nach einer endlichen Anzahl
von Schritten erreicht wird.
Der Punkt kleinster Entfernung von G liegt gleichzeitig auf
einer gewissen Anzahl von Ebenen cp^=0. Gvuss nennt die be-