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https://doi.org/10.11588/diglit.36396#0020
20 (A.ll)
PAUL STÄGKEL:
wieder zu unterscheiden, ob er im Innern liegt oder nicht. Bei der
ersten Möglichkeit ist zu prüfen, ob die Funktion in der ganzen
(??—l)-fach ausgedehnten Umgebung des Punktes größer ausfäht
als in dem betreffenden Punkte, was keineswegs immer stattfin-
den wird. Bei der zweiten Möglichkeit kommt der Punkt nur dann
in Frage, wenn er gleichzeitig für alle anstoßenden Grenzmannig-
faltigkeiten derselben Dimension, wie die betrachtete Grenz-
mannigfaltigkeit aufweist, ein Minimum ist, und wenn das gilt,
so ist wiederum die ganze (72 —1)-fach ausgedehnte Umgebung zu
prüfen. Im äußersten Fall kommt man zu den Grenzpunkten, in
denen mindestens n der Funktionen <p,^ verschwinden, und hat hier
sogleich an die Prüfung der (n--i)-fach ausgedehnten Umgehung
heranzutreten.
Die vorstehenden Überlegungen werfen ein neues Licht auf
das Verfahren von G-Auss. Bei ihm hat man die Systeme gewöhn-
licher Differentialgleichungen erster Ordnung zu integrieren, denen
die Kurven schnellster Abnahme genügen. Kann man die Inte-
gration leisten, so kennt man auch die singulären Punkte des
Systems der Integralkurven, unter denen sich die Punkte des
Extremums befinden. Der Unterschied gegen das neue Ver-
fahren liegt jetzt darin, daß man hei diesem für alle Mannigfal-
tigkeiten, die sich durch Verbindungen der Gleichungen (p,j=0
erklären lassen, die Stellen des Extremums zu suchen hat, während
hei der durch das Verfahren von GAUSS vorgeschriebenen Wande-
rung auf der Grenze von gewisse Mannigfaltigkeiten au sgewählt
werden, für die die Kurven schnellster Abnahme ermittelt werden
müssen. Falls die vorgelegte Aufgabe so beschaffen ist, daß jene
Integrationen sich leisten lassen, so kann eine Erleichterung
darin liegen, daß man eine solche Auswahl trifft. Dies gilt für das
von Gvuss behandelte Beispiel, und es soll daher zum Vergleich
der beiden Methoden die Lösung auch nach dem neuen Verfahren
d ur c hge f ü h r t werden.
§8
Anwendung auf das Beispiel von (Guss
Zunächst hat man die Beihe der Mannigfaltigkeiten von
72—1,72—2,... Dimensionen aufzustellen, die sich aus den Ver-
bindungen der linearen Gleichungen zu ein, zwei, drei,...
ergeben.
PAUL STÄGKEL:
wieder zu unterscheiden, ob er im Innern liegt oder nicht. Bei der
ersten Möglichkeit ist zu prüfen, ob die Funktion in der ganzen
(??—l)-fach ausgedehnten Umgebung des Punktes größer ausfäht
als in dem betreffenden Punkte, was keineswegs immer stattfin-
den wird. Bei der zweiten Möglichkeit kommt der Punkt nur dann
in Frage, wenn er gleichzeitig für alle anstoßenden Grenzmannig-
faltigkeiten derselben Dimension, wie die betrachtete Grenz-
mannigfaltigkeit aufweist, ein Minimum ist, und wenn das gilt,
so ist wiederum die ganze (72 —1)-fach ausgedehnte Umgebung zu
prüfen. Im äußersten Fall kommt man zu den Grenzpunkten, in
denen mindestens n der Funktionen <p,^ verschwinden, und hat hier
sogleich an die Prüfung der (n--i)-fach ausgedehnten Umgehung
heranzutreten.
Die vorstehenden Überlegungen werfen ein neues Licht auf
das Verfahren von G-Auss. Bei ihm hat man die Systeme gewöhn-
licher Differentialgleichungen erster Ordnung zu integrieren, denen
die Kurven schnellster Abnahme genügen. Kann man die Inte-
gration leisten, so kennt man auch die singulären Punkte des
Systems der Integralkurven, unter denen sich die Punkte des
Extremums befinden. Der Unterschied gegen das neue Ver-
fahren liegt jetzt darin, daß man hei diesem für alle Mannigfal-
tigkeiten, die sich durch Verbindungen der Gleichungen (p,j=0
erklären lassen, die Stellen des Extremums zu suchen hat, während
hei der durch das Verfahren von GAUSS vorgeschriebenen Wande-
rung auf der Grenze von gewisse Mannigfaltigkeiten au sgewählt
werden, für die die Kurven schnellster Abnahme ermittelt werden
müssen. Falls die vorgelegte Aufgabe so beschaffen ist, daß jene
Integrationen sich leisten lassen, so kann eine Erleichterung
darin liegen, daß man eine solche Auswahl trifft. Dies gilt für das
von Gvuss behandelte Beispiel, und es soll daher zum Vergleich
der beiden Methoden die Lösung auch nach dem neuen Verfahren
d ur c hge f ü h r t werden.
§8
Anwendung auf das Beispiel von (Guss
Zunächst hat man die Beihe der Mannigfaltigkeiten von
72—1,72—2,... Dimensionen aufzustellen, die sich aus den Ver-
bindungen der linearen Gleichungen zu ein, zwei, drei,...
ergeben.