Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine von GAUSS gestellte Aufgabe des Minimums. (A. 11) 21

Dann ist vom Ursprung 6? auf jede von ihnen das Lot zu fällen.
Das bedeutet analytisch, daß der Ausdruck
(24) TT" = ^ A 3^2 A * * * A
unter der Bedingung zu einem Minimum zu machen ist, daß zwi-
schen den Veränderlichen gewisse r lineare Gleichun-
gen bestehen. Die Methode der Multiplikatoren führt sofort zu
7iA?' Gleichungen mit 7iAr Unbekannten, deren Auflösbarkeit-
gesichert ist, weil das Vorhandensein der Stelle des Minimums
feststeht. Es ist jedoch nicht schwer, die Auflösbarkeit auch rein
algebraisch nachzuweisen.
Endlich hat man für die Fuß punkte der so erhaltenen Lote
die Werte sämtlicher Funktionen (p^ zu berechnen und diejenigen
Punkte auszuscheiden, bei denen negative Werte der Funktionen
auftreten. Für die übrigbleibenden Punkte berechne man TU
und ordne die so erhaltenen Werte nach ihrer Größe. Der kleinste
von ihnen ist das gesuchte Minimum.
Man wird jedoch wünschen, ein Kennzeichen zu haben, das
entscheidet, ob einer der zulässigen Fußpunkte das Minimum
liefert oder nicht, ohne daß man die anderen Fußpunkte zu Hilfe
zu nehmen braucht. Dies gelingt durch folgende Überlegung.
Der betrachtete Punkt F(%i, ..,%Ä gehöre zu einer (71—r)-fach
ausgedehnten Mannigfaltigkeit, die etwa als Schnitt der Mannig-
faltigkeiten (pi=0,...,(pr=0 erklärt sei. Dann fragt es sich, ob der
Wert von TT abnimmt oder zunimmt, wenn man auf der Begren-
zung des Gebietes von F zu einem benachbarten Punkte
F'(UiA$%i,...,<2^+8u,,) übergeht. Dabei ändert sich TU um den
Betrag
(25) 2 UjA A * * * A 2 4 A b uj A * * * A 4 .
Hieraus folgt, daß in erster Annäherung das Vorzeichen von
-A%„§V, die Art der Änderung entscheidend ist;
bei einem Minimum muß es positiv sein. Eine besondere Unter-
suchung erfordert der Schnitt der Begrenzung von mit der
(Ti — 1) -fachen Mannigfalti gkeit
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