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https://doi.org/10.11588/diglit.36396#0022
22 (A. 11) P.STÄCREL: Eine von GAuss gestellte Aufgabe des Minimums.
die als die durch F gehende, zum Fahrstrahl OF gehörende Nor-
malmannigfaltigkeit gedeutet werden kann, und zwar findet
stets eine Zunahme von /P statt, wenn man auf der Schnitt-
mannigfaltigkeit in der Richtung von F weg geht. Hieraus folgt,
daß ein Fußpunkt F dann und nur dann das Minimum
liefert, wenn die in der Begrenzung liegende Um-
gebung ganz auf der einen Seite der zum Fahrstrahl
DF gehörenden Normalmannigfaltigkeit liegt, diese
selbst eingeschlossen.
Man überzeugt sich leicht, daß nicht nur die Umgebung der
Stelle des Minimums, sondern auch das ganze Gebiet 6^ auf
der einen Seite der zu DF gehörenden Normalmannig-
faltigkeit liegt. Denn gäbe es, einen auf der anderen Seite
liegenden Punkt P, so würde nach der Grundeigenschaft des
Gebietes auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke FP zu
gehören, mithin hätte man auch in der Umgebung von F Punkte,
des Gebietes 6*„, die auf der anderen Seite der Normalmannigfal-
tigkeit lägen, gegen die Voraussetzung. Wohl aber kann 6^ sogar
einen (7? —1)-fach ausgedehnten Teil der Normalmannigfaltigkeit
in sich fassen; dies tritt zum Beispiel ein, wenn das Minimum für
einen innerhalb einer der Grenzflächen cp^=0 liegenden Fußpunkt
stattfindet.
die als die durch F gehende, zum Fahrstrahl OF gehörende Nor-
malmannigfaltigkeit gedeutet werden kann, und zwar findet
stets eine Zunahme von /P statt, wenn man auf der Schnitt-
mannigfaltigkeit in der Richtung von F weg geht. Hieraus folgt,
daß ein Fußpunkt F dann und nur dann das Minimum
liefert, wenn die in der Begrenzung liegende Um-
gebung ganz auf der einen Seite der zum Fahrstrahl
DF gehörenden Normalmannigfaltigkeit liegt, diese
selbst eingeschlossen.
Man überzeugt sich leicht, daß nicht nur die Umgebung der
Stelle des Minimums, sondern auch das ganze Gebiet 6^ auf
der einen Seite der zu DF gehörenden Normalmannig-
faltigkeit liegt. Denn gäbe es, einen auf der anderen Seite
liegenden Punkt P, so würde nach der Grundeigenschaft des
Gebietes auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke FP zu
gehören, mithin hätte man auch in der Umgebung von F Punkte,
des Gebietes 6*„, die auf der anderen Seite der Normalmannigfal-
tigkeit lägen, gegen die Voraussetzung. Wohl aber kann 6^ sogar
einen (7? —1)-fach ausgedehnten Teil der Normalmannigfaltigkeit
in sich fassen; dies tritt zum Beispiel ein, wenn das Minimum für
einen innerhalb einer der Grenzflächen cp^=0 liegenden Fußpunkt
stattfindet.