Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung.

(A. 17) 7

Durch andre Wahl von /„ und <p„ gemäß den obigt n Bedingun-
gen lassen sich beliebig viele Differenzengleichungen vom Typus A
mit reellen Koeffizienten angeben, hei welchen der fragliche Grenz-
wert für kein reelles Integral existiert. All diese Differenzenglei-
chungen haben aber die Eigenschaft gemein, daß es doch gewisse
Partikulärintegrale gibt, allerdings nur imaginäre, für welche der
fragliche Grenzwert existiert. In der Tat ist ja
lim A±M.= ]„n G< . i ,
l< = co D,,g )' = <X)
und ebenso auch
lim = 1 .

Alan kann übrigens leicht auch Differenzengleichungen dieser
Art mit Koeffizienten angeben. Setzt man z. B.

L* s = A,


r(r+l + ci)

(c = reell T 0) ,

so ergibt sich aus der Theorie der Gammafunktion leicht, daß die
Funktionen <p„ unsere Forderungen erfüllen; denn es ist

also


1 +

tang

c
r +1 '


C
arc tang
r +1

c 1/ c
ri "d'rrlj

Die Differenzengleichung erhält man am schnellsten, indem man
von der Form (1.) ausgeht und die Elemente der zweiten Zeile
durch D,, g, die der dritten durch dividiert. Es ergibt sich:

D

!'+2



D

V+l

/ r + 1 —\
\ (r +1) (^' + ^) /

D = 0