Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung.

(A. 17) 9

wobei
(s<)

c„ = 2 cos ^

für 72^.<r<72^^^

sein soll. Wegen (4.) ist sie gewiß vom Typus A.
Die Gleichung (7.) hat, wie wir jetzt zeigen wollen, die beiden
folgenden Integrale:

dl

cos r
cos ^ ^

für < r < 7^+1 ,

(io.)

sinrd^
^,',2= - , ,, 77;,.-7 r: 7p,, ,
SUI3W

Denn zunächst können wegen (6.) die hier auftretenden Nenner
nicht verschwinden, sodaß die Ausdrücke (9.) und (10.) wirklich
einen Sinn haben. Beim weiteren Beweis kann man die Formeln
(9.) und (10.) auch noch für r=72^i und r = 7?^i + l in Anspruch
nehmen. In der Tat folgt aus (9.) mit Rücksicht auf (5.) und (3.):

D

COS 72

/(+! ^ + 1

COS 71^+1 7^

U+l'

/ü

'^+1

+1,1

cos ^ #^+1

e"S (72^i + l)#
COS d;, ; ,

7^+1

COS

= 1

cos (u^ , ])d.
cos

und Analoges ergibt sich aus (10.).
Nun hat für 72^<r< 72^_^ die Differenzengleichung (7.) wegen
(8.) die Gestalt
(11.) D„+2 - 2 cos 7^ - + D, = 0 (7i^<r< 72^1) ,
und diese ist für die Werte (9.) und (10.) identisch erfüllti), sodaß
das in der Tat Integrale von (7.) sind.
i) Hierbei ist zu beachten, daß der größte in (11.) vorkommende r-Wert
71%^ —1 ist; da aber auch y + 1 und r + 2 als Indizes auftreten, so ist der
größte vorkommende Index von D gleich 7^.^ + l, und bis dahin können ja
die Formeln (9.) und (10.) in Anspruch genommen werden.