Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung. (A. 17) 11

Die Differenzengleichung (7.) hat also kein einziges Parti-
kulärintegral, für welches diese Gleichung gilt.
Jetzt wollen wir auch eine Differenzengleichung vom Typus B
aufstellen, bei welcher der PoiNCARESche Satz nicht gilt, und bei
welcher sogar kein einziges Partikulärintegral existiert, für welches
der Grenzwert lim ' ^ vorhanden ist. Ein Beispiel dieser Art
„ = cc D„ *
ist folgende Differenzengleichung:

r + 2 + 2(-B"
(..+A(,+3)

Offenbar ist sie vom Typus B. Indem man nun gerade und un-
gerade Indizes unterscheidet, ergibt sich:

D,„

2r + 2

D.

(2r)2 (2r+ i)
2r-l

D

2 .'-2 ?

2 f-p 1

(2r + l)2 (2r + 2)

D,

Also nach leichter Rechnung:

D,„

r +1

(2r + l)!

D,

D

2.'+l


(2r + l) - (2r + 2)!
Für DQ = 0 oder 7^ = 0 ist daher der Grenzwert lim 7

.

sicher nicht vorhanden. Wenn aber D^ T 0, Dj T 0 ist, so ergibt
sich:

-^2v-l

(2r + l) Di