Integrale linearer Differentialgleichungen mit Parameter. II.
(A.15) 11
A=0
Und in der Tat überzeugt man sich leicht, daß, wenn <^„(3:) em
Partikulärlösungssystem der Gleichungen (7.) bis (12.) ist, das all-
gemeinste die Form D.^(F) hat, wobei die die willkürlichen
Integrationskonstanten sind. Doch ist das nur eine beiläufige Be-
merkung, welche wir nicht weiter gebrauchen. Die Tatsache ist
übrigens auch von Herrn SCHLESINGER a. a. 0. erkannt.
§ 3.
Nachweis der asymptotischen Darstellung für das
allgemeine Integral.
Wir fügen nunmehr zur Voraussetzung (4.) noch die folgen-
den hinzu:
(13.) iR(/GG))^9t(/GU)) (i = 2,3,...,?r).
Daß dabei ohne weiteres das Gleichheitszeichen zugeiassen werden
kann, ist ein wesentlicher Vorzug gegenüber den Untersuchungen
meiner I. Abhandlung und auch gegenüber der bekannten Theorie
der THOME sehen Normalreihen.
Alsdann berechnen wir nach der Anweisung des vorigen Para-
graphen die Funktionen rn^^(^), also die Reihen in (5.), wobei die
Integrationskonstanten ganz beliebig gewählt werden mögen. Spe-
ziell für den Anfangswert % = % entstehen so die Reihen
(i = l, 2,..,7i).
Nach dem Hilfssatz des § 1 gibt es stetige Funktionen x,(^), welche
diesen Reihen asymptotisch gleich sind, also
M XtM - E w ; --c).
%-=0
Wir betrachten nun dasjenige Integralsystem des Gleichungs-
systems (1.), welches für = a die Anfangswerte
(A.15) 11
A=0
Und in der Tat überzeugt man sich leicht, daß, wenn <^„(3:) em
Partikulärlösungssystem der Gleichungen (7.) bis (12.) ist, das all-
gemeinste die Form D.^(F) hat, wobei die die willkürlichen
Integrationskonstanten sind. Doch ist das nur eine beiläufige Be-
merkung, welche wir nicht weiter gebrauchen. Die Tatsache ist
übrigens auch von Herrn SCHLESINGER a. a. 0. erkannt.
§ 3.
Nachweis der asymptotischen Darstellung für das
allgemeine Integral.
Wir fügen nunmehr zur Voraussetzung (4.) noch die folgen-
den hinzu:
(13.) iR(/GG))^9t(/GU)) (i = 2,3,...,?r).
Daß dabei ohne weiteres das Gleichheitszeichen zugeiassen werden
kann, ist ein wesentlicher Vorzug gegenüber den Untersuchungen
meiner I. Abhandlung und auch gegenüber der bekannten Theorie
der THOME sehen Normalreihen.
Alsdann berechnen wir nach der Anweisung des vorigen Para-
graphen die Funktionen rn^^(^), also die Reihen in (5.), wobei die
Integrationskonstanten ganz beliebig gewählt werden mögen. Spe-
ziell für den Anfangswert % = % entstehen so die Reihen
(i = l, 2,..,7i).
Nach dem Hilfssatz des § 1 gibt es stetige Funktionen x,(^), welche
diesen Reihen asymptotisch gleich sind, also
M XtM - E w ; --c).
%-=0
Wir betrachten nun dasjenige Integralsystem des Gleichungs-
systems (1.), welches für = a die Anfangswerte