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https://doi.org/10.11588/diglit.36434#0019
Integrale linearer Differentialgleichungen mit Parameter. II.
(A. 15) 19
Für 72 =1, d. h. für Systeme mit nur einer Gleichung, ist der
Satz leicht durch direkte Integration einzusehen, übrigens aber
auch im Satz 1 enthalten. Die Allgemeingültigkeit beweisen wir
durch vollständige Induktion, indem wir annehmen, der Satz gelte
bereits für Systeme mit weniger als 7t Gleichungen.
Ist / = 1, so ist die Existenz des betreffenden Integralsystems
durch Satz 1 gewährleistet. Sei daher />1. Wir bezeichnen dann
em Integralsystem des Satzes 1 mit y^\ y^\ ..., yjü, sodaß im
Intervall gleichmäßig
^ J /i (a;) <7%
(37.) yjh - g " V (für ; --^c)
r = 0
ist. Hierauf führen wir das Differentialgleichungssystem (I.)
durch die Substitution
2/1 = y!y J wd a:
Vs -
.7,, - y^/arda; +
auf ein System mit nur 72 — 1 Differentialgleichungen zurück. Für
die in enthaltene Integrationskonstante, die eine willkür-
liche Funktion von ^ sein darf, behalten wir uns eine passende
Wahl noch vor.
Analog wie auf Seite 20 meiner I. Abhandlung ergibt sich
durch die obige Transformation:
(39-) -
C = 2
(38.)
(40.) ^7 ' 'Ah-, - ^
,(1)
7 " / t **! —1 (1) 1
" ^ ^=2 \ y^
(i = 2,3,..., 72).
Aus (37.) folgt nun nach den bekannten Rechenregeln für
asymptotische Reihen^) gleichmäßig im Intervall n<a^<^:
0 Bei diesen Rechenregeln ist allerdings m der Literatur nicht die
der Darstellung berücksichtigt. Doch sind die erforderlichen
Ergänzungen in der Beweisführung sehr einfach, sodaß ich nicht darauf ein-
zugehen brauche. Die Regeln für Addition und Subtraktion sind trivial.
Für Multiplikation und Division lauten sie:
(A. 15) 19
Für 72 =1, d. h. für Systeme mit nur einer Gleichung, ist der
Satz leicht durch direkte Integration einzusehen, übrigens aber
auch im Satz 1 enthalten. Die Allgemeingültigkeit beweisen wir
durch vollständige Induktion, indem wir annehmen, der Satz gelte
bereits für Systeme mit weniger als 7t Gleichungen.
Ist / = 1, so ist die Existenz des betreffenden Integralsystems
durch Satz 1 gewährleistet. Sei daher />1. Wir bezeichnen dann
em Integralsystem des Satzes 1 mit y^\ y^\ ..., yjü, sodaß im
Intervall gleichmäßig
^ J /i (a;) <7%
(37.) yjh - g " V (für ; --^c)
r = 0
ist. Hierauf führen wir das Differentialgleichungssystem (I.)
durch die Substitution
2/1 = y!y J wd a:
Vs -
.7,, - y^/arda; +
auf ein System mit nur 72 — 1 Differentialgleichungen zurück. Für
die in enthaltene Integrationskonstante, die eine willkür-
liche Funktion von ^ sein darf, behalten wir uns eine passende
Wahl noch vor.
Analog wie auf Seite 20 meiner I. Abhandlung ergibt sich
durch die obige Transformation:
(39-) -
C = 2
(38.)
(40.) ^7 ' 'Ah-, - ^
,(1)
7 " / t **! —1 (1) 1
" ^ ^=2 \ y^
(i = 2,3,..., 72).
Aus (37.) folgt nun nach den bekannten Rechenregeln für
asymptotische Reihen^) gleichmäßig im Intervall n<a^<^:
0 Bei diesen Rechenregeln ist allerdings m der Literatur nicht die
der Darstellung berücksichtigt. Doch sind die erforderlichen
Ergänzungen in der Beweisführung sehr einfach, sodaß ich nicht darauf ein-
zugehen brauche. Die Regeln für Addition und Subtraktion sind trivial.
Für Multiplikation und Division lauten sie: