Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Integrale linearer Differentialgleichungen mit Parameter. II. (A. 15) 29

tion von die zudem im ganzen Intervall & nirgends ver-
schwindet.
Nunmehr ist es leicht, die Funktionen /(%), cOy(%) in (61.) so
zu bestimmen, daß unsere Differentialgleichung formal befriedigt
wird. Wegen (66a.) muß zunächst F=0, also / eine der Funk-
tionen A, sein. Wir wählen etwa / /;. Aus (67a.) ergibt
3F _ .
sich dann, da ——TO ist, n<Q, wobei eine liYtegrationskonstante
W
willkürlich bleibt. Aus (68a.) für r = 2 erhält man wobei wie-
der eine Integrationskonstante auftritt. Und allgemein ergibt sich
aus (68a.) m„_i, nachdem mQ,Wi, ...,m„_2 bereits bekannt sind.
Man kann hiernach, den % Funktionen A entsprechend, n
Ausdrücke
i'=0
formal berechnen, und die Frage ist, ob es integrale gibt, die
diesen Ausdrücken asymptotisch gleich sind. Hierauf können wir
in zwei Theoremen antworten:
I. Wenn /hr u < v < hnrcAtveg
iR (A(U) D 9? (AD)) 2,3,..., n)
Mf, /nfegz^n/e y, /hr uWcAe
f/A(^) ^
- e " W ^i,^(^) (/hr f-^oo)
i'=0
Hat man daher für die Stelle die Wurzeln irgendwie nummeriert,
so ist dadurch für das ganze Teilintervall (a, aM die Nummerierung vorgeschrie-
ben, insbesondere für den Endpunkt a^. Dadurch ist sie aber auch für das
Intervall (a^aU vorgeschrieben, insbesondere für a^, usw. Auf diese Art ist
für das Gesamtintervall (%,&) die Nummerierung bestimmt, und man hat
n. eindeutige Funktionen /UW AD)'---.AD)- Die Stetigkeit dieser Funk-
tionen folgt dann sofort daraus, daß bei der obigen Betrachtung die Zahl e
beliebig klein sein darf. Bei Verkleinerung von e kann ja die Nummerierung
nicht mehr geändert werden.
Nachdem die Stetigkeit im ganzen Intervall feststeht, läßt sich die un-
beschränkte Differenzierbarkeit mit den gewöhnlichen Methoden der Diffe-
rentialrechnung sofort nachweisen.