4 (A.2)
PAUL SlÄCKEL:
der beiden Fälle nicht eingegangen wei den. Um Ausnahmen zu ver-
meiden, die für den vorliegenden Zweck nicht von Belang sind,
^ 2(5
möge die ganze Zahl 2 mindestens gleich 2+ - sein.
2^
Die beiden Lückenzahlpaare der Differenz 2(5 sollen in der
Form 2P,7/ + zi,, 2P,z/ + zi, + 2(5 und 2P,z + w,, 2P,z + w, + 2d an-
genommen werden, wo zi, und w, dem Hauptbereich angehören.
Aus der Gleichung
(72) 2P,^r + 2M, = 2P,(z/+z;) + zi, + w, + 2(5
folgt zunächst, daß zi,+ zei,+ 2<5 bis auf ein Vielfaches von 2P, mit
2n, übereinstimmt, und zwar wird zi, + w,+ 2(5 höchstens gleich
4P,+ 2(5 —2 werden können. Wenn zi,+ w,+ 2(5 —e-2P, dem
Haupt bereich angehört, so sind weiter 7/ und ^ so zu wählen, daß
77+3 = 3;—e wird; wegen der für die Zahl + getroffenen Annahme
ist es stets möglich, Paare von Zahlen y,z, die nicht negativ sind,
zu finden, sodaß der Gleichung 77+3 = 3;—e genügt wird.
Die Anzahl der Wertepaare zi,,w,, die Paare zi,,w, und zci,,zi,
als verschieden angesehen, wenn zi, von w, verschieden ist, für die
&, + w, + 2(5 bis auf ein Vielfaches von 2P, mit 2n, übereinstimmt,
soll das Gewicht der Stufe r und der Gattung 2(5 für
die Zahlenklasse 2P, 3; + 2zz, genannt und mit 77^ (2 n,) bezeichnet
werden.
Zur Ermittelung der Gewichte dient wieder der Schluß von
r auf r+1. Es. sei 2n,+i eine Zahl des Hauptbereichs (r+l)-ter
Stufe. Das Zeichen o-^(2n,+J bedeute die Anzahl der Wertepaare
des Hauptbereichs (r+l)-ter Stufe, die zu Lückenzahl-
paaren der Differenz 2(5 gehören und für die zi,^ + w,^^ + 2(5 bis
auf ein Vielfaches voh 2P,_^ mit 2n,_^ übereinstimmt. Man setze
2?+,_i_i = 2PW + 2M,, zi,_^ = 2P, 77 + z!,, w,+i = 2PW + w,, wo 2iz,,zi,,w,
dem Hauptbereich r-ter Stufe angehören und die Zahlen G 77, (J
der Reihe 0, 1, 2, —1 zu entnehmen sind. Dann sind
zi,, zi,+ 2 (5 und w,, w, + 2(5 Lückenzahlpaare 7*-ter Stufe der Diffe-
renz 2(5, und die Summe zi,+ zgi,+ 2(5 unterscheidet sich von 2%,
nur um ein Vielfaches von 2P,. Mithin gibt es ^'^(2n,) Paare
zi,, z&,, die man nehmen darf. Weiter muß 77+4 bis auf ein Viel-
faches von mit e übereinstimmen. Für 77 darf man die
Zahlen der Reihe 0,1,2, 1 setzen, ausgenommen die Zahl
770, für die 2P, 77Q + Z1, durch p,_^ teilbar wird, und die Zahlen
PAUL SlÄCKEL:
der beiden Fälle nicht eingegangen wei den. Um Ausnahmen zu ver-
meiden, die für den vorliegenden Zweck nicht von Belang sind,
^ 2(5
möge die ganze Zahl 2 mindestens gleich 2+ - sein.
2^
Die beiden Lückenzahlpaare der Differenz 2(5 sollen in der
Form 2P,7/ + zi,, 2P,z/ + zi, + 2(5 und 2P,z + w,, 2P,z + w, + 2d an-
genommen werden, wo zi, und w, dem Hauptbereich angehören.
Aus der Gleichung
(72) 2P,^r + 2M, = 2P,(z/+z;) + zi, + w, + 2(5
folgt zunächst, daß zi,+ zei,+ 2<5 bis auf ein Vielfaches von 2P, mit
2n, übereinstimmt, und zwar wird zi, + w,+ 2(5 höchstens gleich
4P,+ 2(5 —2 werden können. Wenn zi,+ w,+ 2(5 —e-2P, dem
Haupt bereich angehört, so sind weiter 7/ und ^ so zu wählen, daß
77+3 = 3;—e wird; wegen der für die Zahl + getroffenen Annahme
ist es stets möglich, Paare von Zahlen y,z, die nicht negativ sind,
zu finden, sodaß der Gleichung 77+3 = 3;—e genügt wird.
Die Anzahl der Wertepaare zi,,w,, die Paare zi,,w, und zci,,zi,
als verschieden angesehen, wenn zi, von w, verschieden ist, für die
&, + w, + 2(5 bis auf ein Vielfaches von 2P, mit 2n, übereinstimmt,
soll das Gewicht der Stufe r und der Gattung 2(5 für
die Zahlenklasse 2P, 3; + 2zz, genannt und mit 77^ (2 n,) bezeichnet
werden.
Zur Ermittelung der Gewichte dient wieder der Schluß von
r auf r+1. Es. sei 2n,+i eine Zahl des Hauptbereichs (r+l)-ter
Stufe. Das Zeichen o-^(2n,+J bedeute die Anzahl der Wertepaare
des Hauptbereichs (r+l)-ter Stufe, die zu Lückenzahl-
paaren der Differenz 2(5 gehören und für die zi,^ + w,^^ + 2(5 bis
auf ein Vielfaches voh 2P,_^ mit 2n,_^ übereinstimmt. Man setze
2?+,_i_i = 2PW + 2M,, zi,_^ = 2P, 77 + z!,, w,+i = 2PW + w,, wo 2iz,,zi,,w,
dem Hauptbereich r-ter Stufe angehören und die Zahlen G 77, (J
der Reihe 0, 1, 2, —1 zu entnehmen sind. Dann sind
zi,, zi,+ 2 (5 und w,, w, + 2(5 Lückenzahlpaare 7*-ter Stufe der Diffe-
renz 2(5, und die Summe zi,+ zgi,+ 2(5 unterscheidet sich von 2%,
nur um ein Vielfaches von 2P,. Mithin gibt es ^'^(2n,) Paare
zi,, z&,, die man nehmen darf. Weiter muß 77+4 bis auf ein Viel-
faches von mit e übereinstimmen. Für 77 darf man die
Zahlen der Reihe 0,1,2, 1 setzen, ausgenommen die Zahl
770, für die 2P, 77Q + Z1, durch p,_^ teilbar wird, und die Zahlen