Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. 11.

(A. 2) 5

für die dasselbe der Reihe nach bei 2P,pQ + zp + 26,
2P^(^ —E —p^) + ze^, 2Z\.(<^ —E —p^) + Kp + 26 eintritt.
Bis hierher galten für den allgemeinen Fall einer Differenz
26 ganz ähnliche Betrachtungen, wie sie in § 6 für die Zwillings-
paare angestellt wurden. Die weiteren Schlüsse beruhten dort auf
dem Umstand, daß po von po und ebenso % von p^ ver-
schieden ist. Solange das auch bei einer Differenz 26 zutrifft,
solange bleiben die dort gewonnenen Ergebnisse in Kraft. Alan
erhält unter dieser Voraussetzung, wenn 2^1 durch p^ teilbar
ist, die Formel

(73) ^(2^)

(2M,)-(p,+i-2) .



Wenn aber eine der beiden Zahlen 2n^^ + 26 durch p,_^ teilbar
ist, so wird


und wenn keine der drei Zahlen 2%,^, 2^^+ 26 den Teiler p,._^
aufweist:


Damit die Formeln (73), (74) und (75) gelten, müssen die
Fallunterscheidungen sich gegenseitig ausschließen; es dürfen also
nicht zwei der drei Zahlen 2^1, 2n^^ + 26 gleichzeitig durch p,+i
teilbar sein, und hierin liegt, daß 26 nicht den Teiler p^ haben
darf. Hat aber umgekehrt 26 nicht den Teiler p^, so sind % und
%, % und p^ voneinander verschieden. Für das gleichzeitige Be-
stehen der Formeln (73), (74) und (75) ist demnach notwendig und
hinreichend, daß 26 nicht durch p^ teilbar ist.
Wenn 26 durch p^ teilbar ist, so sind die drei Zahlen 2%,^,
2M,+i + 26 entweder alle frei von dem Teiler p,_^ oder alle damit
behaftet. Im ersten Fall ist % = ?7o, % = aber % verschieden
von %, und man erhält mit Hilfe der Gleichung (57) die Formel


Im zweiten Fall sind die vier Ausnahmewerte von p einander
gleich, und man erhält mit Hilfe der Gleichung (13) die Formel