Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. II. (A. 2) 9

ferenzenfolgen zulässig. Alan erkennt zum Beispiel sofort, daß auf
keiner Stufe dreigliedrige Lückenzahlfolgen mit den Differenzen
(2,2) Vorkommen. Mit der Differenzenfolge 2^,2^, ...,2Ü„_^,2d„
ist offenbar auch die in umgekehrter Ordnung geschriebene Folge
2d„, 2<5„_i, ...,2Ü2,2(5i zulässig. Die umgekehrte Folge kann mit
der ursprünglichen zusammen fallen. Solche Folgen, die bei den
weiteren Untersuchungen eine wichtige Rolle spielen werden, sollen
symmetrisch heißen.
Wenn eine Differenzenfolge bei den Lückenzahlen r-ter Stufe
auftritt, so findet sie sich auch auf allen vorhergehenden Stufen,
denn die Lückenzahlen r-ter Stufe gehören zu allen vorhergehen-
den Stufen. Mithin enthält die erste Stufe bereits alle möglichen
Differenzenfolgen. Indessen kann eine auf der ersten Stufe zu-
lässige Folge beim Fortgang zu höheren Stufen unzulässig werden.
Zum Beispiel ist die Differenzenfolge (2, 4, 2,4, 2) auf der ersten
Stufe verwirklicht; sie fehlt aber auf der zweiten, denn von den
6 erzeugenden Zahlen müßte eine durch 5 teilbar sein. Allgemein
gesprochen verliert man beim Übergang zu einer höheren Stufe
immer gewisse Differenzenfolgen, weil eine der erzeugenden Zahlen
durch die hinzutretende Primzahl teilbar sein würde. Es gibt je-
doch Folgen, die auf jeder Stufe zulässig sind. Solche Folgen
sollen beständig genannt werden.
Nur beständige Folgen kommen m Betracht, wenn man für
die Anzahl der aus dem Hauptabschnitt r-ter Stufe entspringen-
den Lückenzahlfolgen mit gegebenen Differenzen asymptotische
Gesetze herleiten will.
Die Differenzenfolgen, die sich ergeben, wenn man aus der
Reihe der ungeraden Primzahlen irgendeine steigende Folge her-
ausgreift und die Differenzen der benachbarten Zahlen bildet, sind
teils beständig, teils unbeständig. Unbeständig ist zum Beispiel
die Folge 2, 4, 2,4, 2, die zu den Primzahlen 5,7,11,13,17,19 ge-
hört. Es ist sehr wahrscheinlich, daß folgender Satz gilt: Un-
beständige Folgen von Differenzen kommen unter
den Primzahlen, wenn überhaupt, nur eine endliche
Anzahl von Malen vor, dagegen sind beständigen
Differenzen folgen bei den Primzahlen unendlich oft
verwirklicht. Es werden im folgenden sogar asymptotische
Ausdrücke für die Anzahlen des Auftretens beständiger Diffe-
renzenfolgen aufgestellt werden; diese haben sich bei den numeri-
schen Prüfungen als brauchbar erwiesen.